elem. Zahlentheorie, Teilbarke < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 Mi 06.04.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo,
ich knobel schon seit geraumer Weile an einer Aufgabe aus der elem. Zahlentheorie herum, aber mittlerweile hab ich scheinbar eine Denkblockade.
Sie lautet der Art: Zeige für $m,n [mm] \ge [/mm] 5$, beide prim gilt: [mm] $48|m^{4}+n^{4}-2$.
[/mm]
Dass 16 diesen Term zeigt, kann man einfach über den Ansatz m,n prim, [mm] $\ge [/mm] 5$ , also von der Form $2k+1$ bzw. $2l+1$ zeigen und ausrechnen. Für den Faktor 3 hab ich leider noch keinen gescheiten Ansatz gefunden. Hat jemand ne Idee?
Vielen Dank im Voraus, Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo pjoas!
Da $m$ und $n$ prim sind, kann beides von beiden kongruent zu $0$ modulo $3$ sein (sonst müsste eines von beiden durch $3$ teilbar sein, also -da prim- gleich $3$, aber es wurde [mm] $m,n\ge [/mm] 5$ vorausgesetzt).
Also gilt:
$m [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$ [/mm] oder [mm] $m\equiv [/mm] 2 [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{3}$.
[/mm]
In beiden Fällen erhalten wir aber:
[mm] $m^4 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$.
[/mm]
Analog folgt:
[mm] $n^4 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$.
[/mm]
Daher ist
[mm] $m^4 [/mm] + [mm] n^4 [/mm] - 2 [mm] \equiv [/mm] 1 + 1 - 2 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$,
[/mm]
d.h. es gilt
$3 [mm] \vert (m^4 [/mm] + [mm] n^4-2)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mi 06.04.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo Julius und Danke für den mehr als exakten Hinweis - ich hab versucht elementar und ohne Kongruezrechnung diesem Problem beizukommen.
Vielen Dank,
Patrick
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