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| Aufgabe | Bei einem Kondensator im Vakuum mit kreisförmigen Platten mit dem Radius R und dem Abstand d wird die Wechselspannung [mm] U=U_{m}sin(wt) [/mm] angelegt.
a)Bestimme für 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R das Magnetfeld [mm] \vec{B} [/mm] in Abhängigkeit von r und t.
b)Bestimme den I(t) in den Zuleitungen und zeige, dass das Magnetfeld am Rand gleich dem Magnetfeld im Abstand R vom Zuleitungsdraht ist.
c)Bestimme den Poyntingvektor S(t) auf der Kondensatormantelfläche.
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Hi an alle! Meine bisherigen Überlegungen:
Zu a)
E(t) ändert ja periodische seine Richtung und steht senkrecht zu den Platten. Das Magnetfeld geht ringförmig um das E Feld. Warum ist das eigentlich so? (Sollte man wissen wieso das so ist? Oder einfach rechte Hand Regel aus der Schule?)
Noch eine Frage: Wäre das [mm] \vec{B} [/mm] Feld auch mit Gleichspannung da? (Ich dachte nur bei zeitlich veränderlichen E Feldern)
Ist jetzt [mm] \vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}I}{2 \pi r} [/mm] (Amperesches Gesetz)?
Wäre denn [mm] I=I_{m}sin(wt) [/mm] ?
Muss ich jetzt mi dem kapazitiven Widerstand [mm] X_{C}=\bruch{1}{wC} [/mm] rechnen, so dass I=UwC und
[mm] \vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}wC}{2 \pi r}U_{m}sin(wt) [/mm] ist?
Problem: Kann es sein, dass das eher b) war, was ich gemacht hab? Weil R, der Radius des E-Felds, garnicht mit einging?
Also für b) dann [mm] I=I_{m}sin(wt) [/mm] und [mm] \vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}wC}{2 \pi R}U_{m}sin(wt)
[/mm]
Zu c) [mm] \vec{S}(t)= \bruch{1}{\mu_{0}}(\vec{E}\times\vec{B}) [/mm] habe aber auch gefunden, dass das: [mm] \bruch{1}{\mu_{0}}(\vec{E}\times\vec{B}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\mu_{0}}E² [/mm] ist (würde dann E=U/d machen). Mantelfläche bedeutet, dass r=R.
Stimmt das so?
Vielen Danke für eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Kroni |
> Bei einem Kondensator im Vakuum mit kreisförmigen Platten
> mit dem Radius R und dem Abstand d wird die Wechselspannung
> [mm]U=U_{m}sin(wt)[/mm] angelegt.
>
> a)Bestimme für 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R das Magnetfeld [mm]\vec{B}[/mm] in
> Abhängigkeit von r und t.
> b)Bestimme den I(t) in den Zuleitungen und zeige, dass das
> Magnetfeld am Rand gleich dem Magnetfeld im Abstand R vom
> Zuleitungsdraht ist.
> c)Bestimme den Poyntingvektor S(t) auf der
> Kondensatormantelfläche.
>
> Hi an alle! Meine bisherigen Überlegungen:
>
> Zu a)
> E(t) ändert ja periodische seine Richtung und steht
> senkrecht zu den Platten.
Hi,
das ist korrekt.
> Das Magnetfeld geht ringförmig um
> das E Feld. Warum ist das eigentlich so? (Sollte man wissen
> wieso das so ist? Oder einfach rechte Hand Regel aus der
> Schule?)
Wenn du den Maxwellgleichungen glaubst, sagen die dir das: [mm] $div\vec{B}=0$ [/mm] oder auch: es gibt keine magnetischen Monopole sagt dir aus, dass die B-Feld-Linien stets geschlossen sind. Wenn du jetzt noch [mm] $rot{B}=\mu_0*\vec{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial E}{\partial t}$ [/mm] hernimmst, und das berechnest, dann bekommst du Kreise raus.
> Noch eine Frage: Wäre das [mm]\vec{B}[/mm] Feld auch mit
> Gleichspannung da? (Ich dachte nur bei zeitlich
> veränderlichen E Feldern)
B-Felder werden nach der Maxwellgleichung von oben durch 1) Ströme veursacht. D.h. wo auch immer ein Ladungsstrom fließt, existiert ein B-Feld.
2) Durch den sog. Verschiebungsstrom, also bei zeitlich veränderten E-Feldern (den hat man ja extra eingeführt, um die Maxwellgleichung zu retten....das hängt unmittelbar mit deiner Aufgabe zusammen. Wenn man die zeitliche Ableitung des E-Feldes nicht drinstehen hätte, dann würden die Maxwellgleichungen nicht allgemein gelten. Falls du mehr dazu wissen willst, erzähl ichs später, warum).
> Ist jetzt [mm]\vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}I}{2 \pi r}[/mm]
> (Amperesches Gesetz)?
Das gilt, wenn du das B-Feld um einen Stromdurchflossenen Leiter hernehmen willst.
> Wäre denn [mm]I=I_{m}sin(wt)[/mm] ?
Jein. Das wäre nur, wenn du keine Phasenverschiebung zw. Strom und Spannung hättest. Du bekommst aber eine Phasenverschiebung von [mm] $\pi/2$, [/mm] d.h. der Strom eilt der Spannung um 90° vorraus. Das musst du mitberücksichtigen. Das geht aber am einfachsten, indem du alles komplex rechenst, und dann den komplexen Widerstand mit hernimmst von [mm] $Z_C=-i\omega [/mm] C$. Da ist dann durch das $-i$ schon die Phasenverschiebung mit berücksichtigt.
> Muss ich jetzt mi dem kapazitiven Widerstand
> [mm]X_{C}=\bruch{1}{wC}[/mm] rechnen, so dass I=UwC und
> [mm]\vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}wC}{2 \pi r}U_{m}sin(wt)[/mm] ist?
S.h. oben: Fast. Spannung und Strom haben eben noch eine Phasendifferenz.
>
> Problem: Kann es sein, dass das eher b) war, was ich
> gemacht hab? Weil R, der Radius des E-Felds, garnicht mit
> einging?
Genau. Das ist es. Du hast versucht, die b) zu lösen.
> Also für b) dann [mm]I=I_{m}sin(wt)[/mm] und
> [mm]\vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}wC}{2 \pi R}U_{m}sin(wt)[/mm]
s.h. oben.
Zur a) Hast du ja im Kondensator kein Strom, d.h. dein Amperesches Gesetz in der obigen Form würde ein B-Feld von 0 ergeben. Das stimmt aber nicht. Deshalb gibts ja noch den zweiten Term mit [mm] $\frac{1}{c^2}\frac{\partial E}{\partial t}$, [/mm] der dir das B-Feld ergibt.D.h. du musst dir angucken, welches E-Feld im Kondensator herrscht. Das hängt ja von der Spannung ab, d.h. E=E(U). Dann musst du nach der Zeit ableiten, und du hast die eine Seite dort schon darstehen. Die andere Seite gibt dir wieer [mm] $B*2\pi*r$ [/mm] für [mm] $0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] R$.
>
> Zu c) [mm]\vec{S}(t)= \bruch{1}{\mu_{0}}(\vec{E}\times\vec{B})[/mm]
Korrekt.
> habe aber auch gefunden, dass das:
> [mm]\bruch{1}{\mu_{0}}(\vec{E}\times\vec{B})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\mu_{0}}E²[/mm] ist (würde dann E=U/d machen).
> Mantelfläche bedeutet, dass r=R.
> Stimmt das so?
Ich würde das so machen: Du hast E und B am Rand gegeben. Du weist, dass beide gleich sind aus den Aufgaben von oben drüber. Also setzt du E=B und dann stets da ja auch schon vom Betrag her.
LG
Kroni
>
> Vielen Danke für eure Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 05.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bei einem Kondensator im Vakuum mit kreisförmigen Platten
> mit dem Radius R und dem Abstand d wird die Wechselspannung
> [mm]U=U_{m}sin(wt)[/mm] angelegt.
>
> a)Bestimme für 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R das Magnetfeld [mm]\vec{B}[/mm] in
> Abhängigkeit von r und t.
> b)Bestimme den I(t) in den Zuleitungen und zeige, dass das
> Magnetfeld am Rand gleich dem Magnetfeld im Abstand R vom
> Zuleitungsdraht ist.
> c)Bestimme den Poyntingvektor S(t) auf der
> Kondensatormantelfläche.
>
Erstmal vorneweg: in dieser Aufgabe geht es um den Maxwellschen Verschiebungsstrom, der Maxwells zentraler Beitrag zu den nach ihm benannten Gleichungen ist. Das, was wir normalerweise als elektrischen Strom bezeichnen, besteht aus bewegten Ladungsträgern. Die Aufgabe demonstriert das Problem: Strom fliesst durch den Leiter, auf beiden Seiten des Kondensators, aber wo bleibt der Strom zwischen den Platten? (Verletzung der Kontinuitätsgleichung) Maxwell fügte zum Ampèreschen Durchflutungsgesetz einen weiteren Term hinzu, den sogenannten Verschiebungsstrom, der durch die Änderung des elektrischen Flusses gegeben ist. Das heisst also: Strom fliesst nicht nur durch die Bewegung von Ladungsträgern, sondern auch durch die Änderung eines elektrischen Feldes (auch im Vakuum).
Deswegen leuchtet eine Glühbirne, wenn man sie in der Nähe eines starken Mittelwellensenders an zwei lange Drähte mit offenen Enden anschließt (und der Betreiber des Senders merkt die Stromschwankung an seinem Ende auch).
> Hi an alle! Meine bisherigen Überlegungen:
>
> Zu a)
> E(t) ändert ja periodische seine Richtung und steht
> senkrecht zu den Platten. Das Magnetfeld geht ringförmig um
> das E Feld.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Warum ist das eigentlich so? (Sollte man wissen
> wieso das so ist? Oder einfach rechte Hand Regel aus der
> Schule?)
Die Rechte-Hand-Regel ist genau das: eine Regel, die aus den physikalischen Gesetzmäßigkeiten folgt. Die Form des Magentfeldes ergibt sich aus der Maxwellschen Gleichung:
[mm] \vec{\nabla}\times \vec{H} = \vec{\jmath} + \bruch{\partial \vec{D}}{\partial t} [/mm]
Da der Kondensator im Vakuum liegt, ist [mm] $\vec{D} [/mm] = [mm] \varepsilon_0 \vec{E} [/mm] $, [mm] $\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ [/mm] und die Stromdichte [mm] $\vec{\jmath}$ [/mm] zwischen den Kondensatorplatten ist 0, sodass
[mm] \vec{\nabla}\times \vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 \bruch{\partial \vec{E}}{\partial t} = \bruch{1}{c^2} \bruch{\partial \vec{E}}{\partial t}[/mm]
übrigbleibt.
Es ist vielleicht etwas anschaulicher in der Integralform. Dazu integriert man die Gleichung über eine Fläche A und wendet den Satz von Stokes an:
[mm] \oint\limits_{\partial A} \vec{H}\cdot d\vec{s} = \iint\limits_A \vec\jmath\cdot d\vec A + \iint\limits_A \bruch{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec A = \vec{J} + \iint\limits_A \bruch{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec A[/mm],
wobei [mm] $\partial [/mm] A$ der Rand der Fläche A und [mm] $\vec{J}$ [/mm] der Strom durch die Fläche ist.
In unserem Fall wird daraus zwischen den Kondensatorplatten
[mm] \oint\limits_{\partial A} \vec{H}\cdot d\vec{s} = \bruch{1}{c^2} \iint\limits_A \bruch{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot d\vec{A} [/mm]
Rechts trägt wegen des Skalarprodukts nur der Anteil von [mm] $\Dot{\Vec{E}}$ [/mm] bei, der senkrecht zur Fläche A steht. Wenn deine Fläche A also senkrecht zu den Kondensatorplatten steht, ist die rechte Seite 0. Damit ist auch die linke Seite 0, und daraus ergibt sich, dass [mm] $\vec{B}$ [/mm] keine Komponente senkrecht zu den Kondensatorplatten hat.
Insgesamt kommt heraus, dass [mm] $\vec{B}$ [/mm] nur vom Abstand von der Symmetrieachse abhängt und entlang einer Kreislinie um diese verläuft.
> Noch eine Frage: Wäre das [mm]\vec{B}[/mm] Feld auch mit
> Gleichspannung da? (Ich dachte nur bei zeitlich
> veränderlichen E Feldern)
Oder wenn ein Strom fließt.
> Ist jetzt [mm]\vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}I}{2 \pi r}[/mm]
> (Amperesches Gesetz)?
> Wäre denn [mm]I=I_{m}sin(wt)[/mm] ?
> Muss ich jetzt mi dem kapazitiven Widerstand
> [mm]X_{C}=\bruch{1}{wC}[/mm] rechnen, so dass I=UwC und
> [mm]\vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}wC}{2 \pi r}U_{m}sin(wt)[/mm] ist?
>
> Problem: Kann es sein, dass das eher b) war, was ich
> gemacht hab? Weil R, der Radius des E-Felds, garnicht mit
> einging?
> Also für b) dann [mm]I=I_{m}sin(wt)[/mm] und
> [mm]\vec{B}(r,t)=\bruch{\mu_{0}wC}{2 \pi R}U_{m}sin(wt)[/mm]
Das ist im Prinzip fast richtig, aber woher weisst du, dass I diese Form hat? Deine Überlegung mit dem kapazitiven Widerstand ist nicht falsch, aber 1. ist der Strom gegenüber der Spannung um eine Viertelperiode phasenverschoben, und 2. glaube ich, du sollst das herleiten. Benutze die Kontinuitätsgleichung, also die Tatsache, dass die Summe aus gewöhnlichem Strom und Verschiebungsstrom durch eine Fläche konstant ist (solange es keinen Ladungen gibt). Außerhalb des Kondesators fließt nur der gewöhnliche Strom, zwischen den Platten nur der Verschiebungsstrom.
> Zu c) [mm]\vec{S}(t)= \bruch{1}{\mu_{0}}(\vec{E}\times\vec{B})[/mm]
> habe aber auch gefunden, dass das:
> [mm]\bruch{1}{\mu_{0}}(\vec{E}\times\vec{B})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\mu_{0}}E²[/mm] ist (würde dann E=U/d machen).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist das nicht dassselbe!
Rechts hast du den falschen Vorfaktor, es muss [mm]\sqrt{\bruch{\varepsilon_0}{\mu_0}}|\vec{E}|^2[/mm] heißen.
Links der Poyntingvektor, rechts der Betrag des Poyntingvektors. Sollst du nur den Betrag ausrechnen, oder auch die Richtung? Außerdem gilt diese Beziehung nicht allgemein, sondern nur für transversale elektromagnetische Wellen. Die kannst du nicht einfach anwenden.
Du musst schon [mm] $\vec{E}$ [/mm] und [mm] $\vec{B}$ [/mm] ausrechnen, mit der richtigen zeitliche Abhängigkeit.
> Mantelfläche bedeutet, dass r=R.
Viele Grüße
Rainer
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