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Hallo Leute,
Ich habe hier einige Aufgaben, und würde gerne wissen, ob ich sie richtig gemacht habe, bzw. wie ich ansetzen soll:
Aufgabe 1:
Eine Jury besteht aus drei Mitgliedern. Zwei von Ihnen haben unabhängig voneinander eine Wahrscheinlichkeit von p die korrekte Entscheidung zu treffen und der Dritte wirft eine Münze für jede Entscheidung. Eine andere Jury besteht aus nur einem Mitglied, der mit Wahrscheinlichkeit p die richtige Entscheidung trifft. Welche Jury hat die höhere Wahrscheinlichkeit, die rechte Entscheidung zu treffen?
Idee:
Der Grundraum sieht folgendermaßen aus:
[m]\Omega = \left\{ {r,u} \right\} \times \left\{ {r,u} \right\} \times \left\{ {1,2} \right\} \times \left\{ {r,u} \right\}[/m]
'r' steht für richtige Entscheidung, 'u' sonst.
'1' und '2' stehen für die Nummern des Jury-Mitglieds aus der ersten Jury, dessen Entscheidung genommen wird. Zuerst kommt die Entscheidung von Mitglied 1, dann von Mitglied 2, dann der Wert des Münzwurfs und zum Schluß die Entscheidung der anderen Jury. Wir erhalten folgende Möglichkeiten:
[m]\begin{gathered}
\Omega = \left\{ {r,u} \right\} \times \left\{ {r,u} \right\} \times \left\{ {1,2} \right\} \times \left\{ {r,u} \right\} = \hfill \\
\left\{ {uu2u,} \right. \hfill \\
uu2r, \hfill \\
uu1u, \hfill \\
uu1r, \hfill \\
ur2u, \hfill \\
ur2r, \hfill \\
ur1u, \hfill \\
ur1r, \hfill \\
ru2u, \hfill \\
ru2r, \hfill \\
ru1u, \hfill \\
ru1r, \hfill \\
rr2u, \hfill \\
rr2r, \hfill \\
rr1u, \hfill \\
\left. {rr1r} \right\} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Seien
[m]\begin{gathered}
A_1 : = {\text{Jury 1 entscheidet richtig}} \hfill \\
A_2 : = {\text{Jury 2 entscheidet richtig}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
dann gilt doch:
[m]A_1 = \left\{ {ur2u,ur2r,ru1u,ru1r,rr2u,rr2r,rr1u,rr1r} \right\}[/m]
Dann müßte die Wahrscheinlichkeit für [mm] $A_1$ [/mm] 0.5 sein, oder? Und die für
[mm] $A_2$ [/mm] ebenfalls 0.5, da ein Mitglied sich nur richtig oder falsch entscheiden kann.
Aufgabe 2:
Einst war zwischen drei Brüdern Streit entbrannt, und sie forderten sich zum Duell mit Pistolen. Bruder A war als schlechter Schütze bekannt, der nur mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] traff. Daher wurde ihm erlaubt, den ersten Schuß abzugeben (auf wenn immer er will). Als zweiter sollte Bruder B schießen dürfen, der seine Gegner mit Wahrscheinlichkeit [m]\bruch{2}{3}[/m] traf. Als letzter sollte Bruder C an der Reihe sein, von dem bekannt war, daß er immer traf. Danach sollte wieder A an der Reihe sein, u.s.w., bis nur noch ein Bruder überlebt hätte.
Auf wenn soll Bruder A schießen, und wie hoch ist seine Wahrscheinlichkeit am Leben zu bleiben?
Idee:
Man kann sich überlegen, daß es wohl 3 Möglichkeiten gibt, bei denen A als Überlebender rauskommt:
Möglichkeit 1:
A tötet C; angefangen mit B beschießen sich A und B solange bis B fällt.
Möglichkeit 2:
A verfehlt C; B tötet C; angefangen mit A beschießen sich A und B solange bis B fällt.
Möglichkeit 3:
A tötet C; B verfehlt C; C tötet B; A tötet C.
Ich bin davon ausgegangen, daß A zunächst C töten will, da C der stärkste Schütze unter den Dreien ist. B versucht natürlich auch C zu töten, da dieser ihn mit Sicherheit umbringt, wenn er zum Schuß kommt (C hat keinen Grund A (sofort) zu töten, da dieser schwächer schießt).
Was haltet ihr davon? Und vor allem weiß ich nicht, wie man jetzt die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisketten berechnen sollte, am ehesten kommt wohl dieses Urnenmodell in Frage, aber wie funktioniert das genau? Vielleicht könnte mich jemand in die richtige Richtung schubsen. 
Danke!
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl!
Zunächst mal zu Aufgabe 1:
Ich würde davon ausgehen, dass bei Jury 1 eine Mehrheitsentscheidung gefällt wird. Dann kommt man auf:
[mm] $p(1-p)*0,5+p^2*0,5+(1-p)p*0,5+p^2*0,5=p$. [/mm] (Das sind die Einzelwahrscheinlichkeiten für (r,f,r); (r,r,f); (f,r,r); (r,r,r).)
Und Jury 2 entscheidet sich nach Angabe mit Wahrscheinlichkeit $p$ richtig.
Zu Aufgabe 2:
> Möglichkeit 3:
>
> A tötet C; B verfehlt C; C tötet B; A tötet C.
Diese Möglichkeit scheint mir ausgeschlossen: Warum sollte B auf einen Toten schießen? Das ist also eher unwahrscheinlich. Du meintest wohl eher "A vrfehlt C".
> Ich bin davon ausgegangen, daß A zunächst C töten will, da
> C der stärkste Schütze unter den Dreien ist. B versucht
> natürlich auch C zu töten, da dieser ihn mit Sicherheit
> umbringt, wenn er zum Schuß kommt (C hat keinen Grund A
> (sofort) zu töten, da dieser schwächer schießt).
Dieser Gedankengang liegt nahe, allerding kannst du das nicht einfach voraussetzen, schließlich ist das ja Teil der Fragestellung! Du musst also die anderen Möglichkeiten (A schießt zuerst auf B, B zuerst auf A) auch ausrechnen.
> Was haltet ihr davon? Und vor allem weiß ich nicht, wie man
> jetzt die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisketten
> berechnen sollte, am ehesten kommt wohl dieses Urnenmodell
> in Frage, aber wie funktioniert das genau? Vielleicht
> könnte mich jemand in die richtige Richtung schubsen.
Der Punkt, an dem du wahrscheinlich hängst, ist "A und B schießen so lange aufeinander, bis einer stirbt". Ich hätte dafür einen Ansatz:
Wenn A beginnt und sie immer wieder aufeinander schießen, muss folgendes gelten, damit A gewinnt: Falls A daneben schießt, muss B danach auch daneben schießen! Also:
[mm] $P(\mbox{"{}A gewinnt, wenn er beginnt und C bereits tot ist"})= p_A+(1-p_A)(1-p_B)\Bigg(p_A+(1-p_A)(1-p_B)\Big(p_A+(1-p_A)(1-p_B)\big(p_A+\dots$
[/mm]
Das könnte man vielleicht auch als geometrische Reihe schreiben, aber einfacher ist vielleicht eine Fixpunktgleichung: $ [mm] p_A+(1-p_A)(1-p_B)*x=x$.
[/mm]
Hoffe, dass ich dir ein bisschen weiterhelfen konnte...
Gruß, banachella
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Hallo banachella,
Vielen Dank erstmal!
Also, so wie es aussieht, habe ich bei Aufgabe 1 gar nicht so falsch gelegen, oder? Nur habe ich das p dort nicht benutzt ... .
Bei Aufgabe 2 komme ich noch nicht so ganz vorran. Wie Du gesagt hast, habe ich nun versucht alle Möglichkeiten in diesem Duell anhand eines Baumes darzustellen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Es sollen eigentlich zwei Bäume sein, aber der zweite Baum unterscheidet sich nicht so sehr vom Ersten; So ist es übersichtlicher. )
('t' steht bei mir für 'tot' und 'l' für 'lebendig'.)
Aber wie kann ich hier die Wahrscheinlichkeiten ablesen? Ich habe versucht deine Fixpunktgleichung an diesem Baum abzulesen, aber irgendwie stören mich die unendlich vielen Nebenzweige im AB/BA-Pfad.
Wär' schön, wenn Du mir da nochmal helfen könntest.
Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 26.04.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo banachella,
Ich habe jetzt einen Ansatz für das Problem in Google gefunden. Deshalb kann diese Frage geschlossen werden.
Danke für deine Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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