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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 06.12.2007 | | Autor: | EasyLee |
| Aufgabe | | Bestimme [mm] \integral_{-i}^{i}{|z| dz} [/mm] (über die direkte Verbindung) |
Hallo zusammen!
Ok. Mein Probelm ist, dass ich das integral wohl lösen könnte, wenn ich den Weg g(t)=ti wähle
und halt [mm] \integral_{-i}^{i}{|z|dz}=\integral_{-1}^{1}{\wurzel{(0x)^2+(ti)^2}dt} [/mm] berechne.
Jetzt frag ich mich, wie ich das lösen könnte wenn ich den Betrag von z in Polarform schreibe, also
[mm] |z|=\wurzel{(r*cos(\phi))^2+(r*sin(\phi))^2}=r [/mm] (klar, da r ist ja |z|, aber was ist mit [mm] d\phi, [/mm] gibts ja
nich auf der geraden von -i nach i)
Geht das überhaupt, wenn ich das über die direkte verbindung von -i zu i bestimmen soll? Hoffe
das is keine zu dumme frage (glaub schon), aber wenn ich z.B. über die linke oder rechte Hälfte des
Kreises parametrisieren dürfte ginge das ja auch, und sind die beiden Wege gleich? (ja ne?, weil es
sind doch 2 unabh. Wege mit einem Anfangspunkt und einem Endpunt). Wei oh wei, das schon a
bissel peinlich. hihi
Tausend Dank
EasyLee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Fr 07.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Easylee!
> Bestimme [mm]\integral_{-i}^{i}{|z| dz}[/mm] (über die direkte
> Verbindung)
> Hallo zusammen!
>
> Ok. Mein Probelm ist, dass ich das integral wohl lösen
> könnte, wenn ich den Weg g(t)=ti wähle
> und halt
> [mm]\integral_{-i}^{i}{|z|dz}=\integral_{-1}^{1}{\wurzel{(0x)^2+(ti)^2}dt}[/mm]
> berechne.
(Die Wurzel ist falsch, da muss [mm]\wurzel{(0x)^2+(t)^2}[/mm] stehen, und [mm]dz= idt[/mm], also:
[mm]\integral_{-i}^{i}{|z|dz}=\integral_{-1}^{1}{\wurzel{(0x)^2+(t)^2}*i*dt} = i \integral_{-1}^{1}|t|\,dt[/mm]
Das scheint mir der einfachste Weg zu sein, wegen des Betrags teilst du am besten dein Integral in zwei Teile auf.
> Jetzt frag ich mich, wie ich das lösen könnte wenn ich den
> Betrag von z in Polarform schreibe, also
> [mm]|z|=\wurzel{(r*cos(\phi))^2+(r*sin(\phi))^2}=r[/mm] (klar, da r
> ist ja |z|, aber was ist mit [mm]d\phi,[/mm] gibts ja
> nich auf der geraden von -i nach i)
Der Integrand ist zwar [mm]|z|=r[/mm], aber der Integrationsweg ist durch r allein nicht beschreibbar. r läuft von 1 (entsprechend z=-i) über 0 bis 1 (entsprechend z=+i). Du musst dein Integral in die zwei Teile von -i bis 0 und 0 bis +i zerlegen.
Für das erste Teilintegral ist [mm]g(r) = -i r[/mm]:
[mm] \integral_{1}^{0} {r *(-i)*dr} = \bruch{i}{2} [/mm],
für das zweite Teilintegral ist [mm]g(r) = +i r[/mm]:
[mm] \integral_{0}^{1} {r *(+i)*dr} = \bruch{i}{2} [/mm],
> Geht das überhaupt, wenn ich das über die direkte
> verbindung von -i zu i bestimmen soll? Hoffe
> das is keine zu dumme frage (glaub schon), aber wenn ich
> z.B. über die linke oder rechte Hälfte des
> Kreises parametrisieren dürfte ginge das ja auch, und sind
> die beiden Wege gleich?
Das weisst du nicht. Der Integralsatz von Cauchy sagt dir, dass beide Integrale gleich sind, wenn der Integrand eine holomorphe Funktion ist, aber [mm]|z|[/mm] ist nicht holomorph, und nachrechnen mit [mm]g(t) = \mathrm{e}^{it}[/mm] zeigt:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{+\pi/2} |\mathrm{e}^{it}| * i * \mathrm{e}^{it} dt = \mathrm{e}^{it}\Bigr|_{-\pi/2}^{+\pi/2} = 2i [/mm]
Ist nicht das Gleiche.
Viele Grüße
Rainer
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