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hi leute, unser prof hat mit der denkbar einfachsten aufgabe sein uebeungszettelsammelsurium gestartet,
a) A [mm] \cap [/mm] B = A b) A [mm] \cup [/mm] B = B c) A [mm] \supseteq [/mm] B
so, es soll die äquivalenz gezeigt werden, ich dachte mir das folgendermassen :
ich fange an mit c -> a
x [mm] \in [/mm] A [mm] \supseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B
so, damit meine ich halt, wenn x aus der teilmenge a genommen wird, so ist es element von A UND B
a->b
wähle ich nun
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B
so meine ich damit das wenn ich x aus der Disjunkten menge wähle, so ist es entweder element von A ODER von B
hier frage ich mich, ob dieses schlussfolgerung noch richtig ist, oder ob da der wunsch vater meines gedanken ist,
weil eigentlich duerfte ich doch nur schreiben x [mm] \in [/mm] A wegen a)
naja,
zu guter letzt
b->c
wähle ich nun
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
womit ich durch sein muesste oder ?!?!?!? bei so 'trivialen' sachen bin ich mir leider nicht immer so sicher, ob das schon reicht, um die mathematiker zufrieden zustellen, weill ich ja nur das umgeschrieben habe was oben steht, aber das ist einem bei kurzem nachdenken schon klar geworden, kann man sowas als hausaufgabe dan abgeben ?
danke im voraus
christian
p.s.: isch habe diese fraje nirjenzwo anders gestellt
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Hallo,
also deinen ersten Schritt c) =>a)kann es sein, dass du da die Richtung der nlkusion bei c falch herumhast?! oder binich schonso Müde, dass ich es gar nicht mehr blicke...
die Richtung a=> c istnoch leichter, und daher kommt mir dieInklusion sorum schlauer vor:
Definition A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] B.. Das ist ja klar. denn alle Elemente von A [mm] \cap [/mm] B liegen in B. Nach a) A [mm] \cap [/mm] B = A ==> mit der gerade gemachtenÜberlegung A [mm] \subset [/mm] B
Nun c=> b) (wobei c) sowie ich schreibe A [mm] \suset [/mm] B lautet! ist dann auch ganz einfach... Da kommst du alleine drauf?! Enweder mit Mengenoperation oder schau einfach die Elemente von A [mm] \cup [/mm] B an die liegen in A somit auch in B oder eben in B also in B :o)
c=> a funktioniert genau gleich!(naja fast)
bleibt noch b=>c Aber auch dasist einfach [mm] A\subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B... und nunweißt du ja was zu tun ist..
Somit hast du
a <=> c <=> b also sind alle äquivqlent
So guts Nächtle dann
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> Hallo,
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> also deinen ersten Schritt c) =>a)kann es sein, dass du da
> die Richtung der nlkusion bei c falch herumhast?! oder
> binich schonso Müde, dass ich es gar nicht mehr blicke...
>
> die Richtung a=> c istnoch leichter, und daher kommt mir
> dieInklusion sorum schlauer vor:
> Definition A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subset[/mm] B.. Das ist ja klar. denn alle
> Elemente von A [mm]\cap[/mm] B liegen in B. Nach a) A [mm]\cap[/mm] B = A ==>
> mit der gerade gemachtenÜberlegung A [mm]\subset[/mm] B
>
meine version war :
x [mm]\in[/mm] A [mm]\supseteq[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B
du meinst nun ich soll
a->c zeigen ...
A [mm]\cap[/mm] B = A [mm] \Rightarrow [/mm] alle elemente liegen in A UND B
der einzige unterschied den du gemacht hast war noch
(A [mm]\cap[/mm] B) [mm] \subset [/mm] B = A [mm] \Rightarrow [/mm] alle elemente liegen in A UND B
das B eine teilmenge von B ist, bzw. A [mm]\cap[/mm] B eine Teilmenge von B ist ...
damit hat man quasi dann den schritt von a)->c) gezeigt ...
oder ?
c->b und und b->c schaue ich mir heut abend nochmal an ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Di 12.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo ehrlichbemühter!
Du hast leider keine der Inklusionen auch nur ansatzweise richtig gezeigt, tut mir leid.
> meine version war :
>
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\supseteq[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B
Schon diese Folgerung ist falsch, ebenso nahezu alle anderen.
Ich will es jetzt mal im Detail vormachen.
Wir haben also drei Aussagen:
a) $A [mm] \cap [/mm] B=A$,
b) $A [mm] \cup [/mm] B = B$,
c) $A [mm] \subseteq [/mm] B$,
und wollen deren Äquivalenz zeigen.
$a) [mm] \Rightarrow [/mm] b)$
Die Beziehung $B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ ist trivial. Zu zeigen bleibt also: $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B$. Es sei also $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ beliebig gewählt. d.h. es gilt $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$. Da nach Voraussetzung aber $A=A [mm] \cap [/mm] B$ gilt, folgt für $x [mm] \in [/mm] A$ die Beziehung $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$, also:
$x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$.
In jedem Fall gilt also: $x [mm] \in [/mm] B$, womit $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B$ gezeigt ist.
$b) [mm] \Rightarrow [/mm] c)$
Ich mache das ganze Mal ohne die de Morgan'schen Regeln, weil ich nicht weiß, ob die ihr die schon hattet. Falls ja, kannst du den Beweis natürlich entsprechend verkürzen.
Es sei $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: $x [mm] \inA$. [/mm] Angenommen, es wäre $x [mm] \notin [/mm] B$. Wegen
$A [mm] \cup [/mm] B = B$
würde dann $x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ gelten. Es würde also nicht die Aussage "$x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$" gelten, d.h. es müsste die Aussage "$x [mm] \notin [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] B$" wahr sein, insbesondere also: $x [mm] \notin [/mm] A$. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Daher folgt doch $x [mm] \in [/mm] B$, womit die Inklusion $A [mm] \subseteq [/mm] B$ bewiesen ist.
$c) [mm] \Rightarrow [/mm] a)$
Die Beziehung $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A$ ist trivial. Zu zeigen bleibt also: $A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$.
Es sei also $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$, also: $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$. Zu zeigen bleibt demnach: $x [mm] \in [/mm] B$. Dies folgt aber aus $x [mm] \in [/mm] A$ und $A [mm] \subseteq [/mm] B$ nach Definition.
Viele Grüße
Julius
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Hallo Julius,
> Ich will es jetzt mal im Detail vormachen.
>
> Wir haben also drei Aussagen:
>
> a) [mm]A \cap B=A[/mm],
>
> b) [mm]A \cup B = B[/mm],
>
> c) [mm]A \supseteq B[/mm],
>
> und wollen deren Äquivalenz zeigen.
>
>
> [mm]a) \Rightarrow b)[/mm]
>
> Die Beziehung [mm]B \subseteq A \cup B[/mm] ist trivial. Zu zeigen
> bleibt also: [mm]A \cup B \subseteq B[/mm]. Es sei also [mm]x \in A \cup B[/mm]
> beliebig gewählt. d.h. es gilt [mm]x \in A[/mm] oder [mm]x \in B[/mm]. Da
> nach Voraussetzung aber [mm]A=A \cap B[/mm] gilt, folgt für [mm]x \in A[/mm]
> die Beziehung [mm]x \in A \cap B[/mm], also:
>
> [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in B[/mm].
>
> In jedem Fall gilt also: [mm]x \in B[/mm], womit [mm]A \cup B \subseteq B[/mm]
> gezeigt ist.
was mir nicht klar ist, wieso zeigt [mm]B \subseteq A \cup B[/mm] und [mm]A \cup B \subseteq B[/mm]
den schritt von a) nach b) ??!??!?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mo 18.04.2005 | | Autor: | pjoas |
schau bitte in meine Mitteilung zu dem Thema an, da muss ein Fehler in der Aufgabenstellung sein.
Ansonsten findest du dort auch die Argumentationskette nochmal. Diese geht über a <-> c <-> b
Gruß, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mo 18.04.2005 | | Autor: | pjoas |
Also da muss aber noch ein Schreibfehler drinne sein.
Es muss doch heissen $A [mm] \subseteq [/mm] B$. Ansonsten kann man die Aussage $A [mm] \cap [/mm] B = A$ schon nicht mehr folgern. Und [mm] $A\cup [/mm] B =B$ macht auch nicht wirklich Sinn.
Dann werden die Beweise auch einfacher.
$ c) [mm] \Rightarrow [/mm] a)$ und $ c) [mm] \Rightarrow [/mm] b) $ sind klar.
In der umgekehrten Richtung.
Gilt [mm] $A\cap [/mm] B=A$, dann gilt für jedes Element von $A$, dass es bereits in $A [mm] \cap [/mm] B$ liegen muss, also auch in B. einfache Folgerung daraus: $A [mm] \subseteq [/mm] B$, also $a [mm] \gdw [/mm] c $ .
Gruß, Patrick
Gilt $ A [mm] \cup [/mm] B = B $, dann gilt für jedes Element von $ A [mm] \cup [/mm] B $, dass es bereits in $B$ liegt. Speziell gilt für jedes Element aus $A$, dass es bereits in $B$ liegt, also $A [mm] \subseteq [/mm] B$ Damit gilt auch $b)
[mm] \gdw [/mm] c)$ Also insgesamt $a) [mm] \gdw [/mm] b) [mm] \gdw [/mm] c)$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wie du sicherlich an meinem Beweis gesehen hast, hatte ich diesen Fehler schon bereinigt (nur an einer Stelle hatte ich die falsche Aufgabenstellung aus Versehen noch einmal abgeschrieben).
Ist denn jetzt alles klar? Würdest du die Aufgabe jetzt selber hinbekommen?
Viele Grüße
Julius
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danke leute, inzwischen haben wir die aufgabe auch ausfuehrlich besprochen, und mir ist nun auch klar geworden, wieso ihr es genau so gemacht habt, weil ihr immer eins vorraussetzt, und dann halt auf das jeweils naechste schliesst ...
DANKEEEEEEEEEEEEEEE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Partrick!
> Dann werden die Beweise auch einfacher.
Nein, denn ich hatte den Fehler schon bereinigt.
> [mm]c) \Rightarrow a)[/mm] und [mm]c) \Rightarrow b)[/mm] sind klar.
"Klar" ist hier alles, aber es soll auf diesem Niveau halt noch einmal extra gezeigt werden. Das habe ich ja ausführlich gemacht.
Viele Grüße
Julius
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