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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - einfache Potenz bilden
einfache Potenz bilden < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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einfache Potenz bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Mi 20.07.2011
Autor: lzaman

Aufgabe
Bringen sie [mm]z\in\IC[/mm] in Normaldartsellung

[mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}[/mm]


Hallo an alle, die Aufgabe scheint mir recht simple zu sein, dennoch bin ich mir unsicher.

Meine Lösung lautet:

Diese komplexe zahl hat Betrag 1 und Argument [mm]2 \bruch{1}{4} \pi[/mm]

Also ist

[mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=e^{i 2\bruch{1}{4}\pi }[/mm]   daher ist    [mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}=e^{i54\pi}=1[/mm]

Könntet Ihr das bitte nachprüfen.

Danke




        
Bezug
einfache Potenz bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti

Moin!
> Bringen sie [mm]z\in\IC[/mm] in Normaldartsellung
>  
> [mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}[/mm]
>  
> Hallo an alle, die Aufgabe scheint mir recht simple zu
> sein, dennoch bin ich mir unsicher.
>  
> Meine Lösung lautet:
>  
> Diese komplexe zahl hat Betrag 1 [ok] und Argument [mm]2 \bruch{1}{4} \pi[/mm]

Der Polarwinkel ist bei mir [mm] \arctan\frac{-1/\sqrt(2)}{1/\sqrt(2)}=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4} [/mm]

>  
> Also ist
>  
> [mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=e^{i 2\bruch{1}{4}\pi }[/mm]   daher ist
>    [mm]z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}=e^{i54\pi}=1[/mm]
>  
> Könntet Ihr das bitte nachprüfen.
>  
> Danke

LG


Bezug
                
Bezug
einfache Potenz bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Mi 20.07.2011
Autor: lzaman


Ja, da ist mein Fehler!

Allerdings bleibt z=1, da [mm]cos(-54\pi)=1[/mm] ist.

Richtig?


Bezug
                        
Bezug
einfache Potenz bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Mi 20.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo lzaman,


>
> Ja, da ist mein Fehler!
>  
> Allerdings bleibt z=1, da [mm]cos(-54\pi)=1[/mm] ist.

Woher kommt [mm]\cos(-54\pi)[/mm] ??

Das Argument ist doch [mm]-\frac{\pi}{4}[/mm] bzw. [mm]\frac{7}{4}\pi[/mm], wenn du das Argument aus [mm](0,2\pi][/mm] nimmst.

Also [mm]\left(e^{\frac{7}{4}\pi i}\right)^{24}=e^{24\cdot{}\frac{7}{4}\pi i}=e^{42\pi i}=\cos(42\pi)+i\sin(42\pi)=...[/mm]


>
> Richtig?

Teilweise, zumindest im Ergebnis stimmt es ...

Aber du siehst hoffentlich ein, dass Freds Weg der eindeutig schnellere ist, auch, wenn du hier das Argument ja auch direkt ablesen kannst (einfach 1-i einzeichnen und ablesen ...)

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
einfache Potenz bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mi 20.07.2011
Autor: fred97

Es ist [mm] $(1-i)^2=-2i$ [/mm]

Damit ist

[mm] $(1-i)^{24}=2^{12}*i^{12}=2^{12} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
einfache Potenz bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Mi 20.07.2011
Autor: lzaman


Das kann nicht stimmen Fred. Du hast die [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] nicht beachtet.

Oder irre ich mich da?


Bezug
                        
Bezug
einfache Potenz bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mi 20.07.2011
Autor: fred97


>
> Das kann nicht stimmen Fred. Du hast die
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] nicht beachtet.

Du Scherzkeks ! Ich habs Dir überlassen, zu berechnen:

              [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}})^{24}[/mm]

Das kriegst Du doch hin.

FRED

>  
> Oder irre ich mich da?
>  


Bezug
        
Bezug
einfache Potenz bilden: Vielen Dank!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Mi 20.07.2011
Autor: lzaman

Jetzt bin ich ganz durcheinander.

Ich mache es bissle ausführlicher:

Nach der Formel [mm]z^n=r^n \cdot e^{n\cdot \varphi}[/mm]

ist [mm]z^{24}=r^{24} \cdot e^{24\cdot \varphi}[/mm] und [mm]\varphi[/mm] ist für [mm]a>0, b<0[/mm] mit [mm]z=a+ib[/mm] doch [mm]arctan\left(\bruch{b}{a}\right)+2\pi [/mm] im Bereich von [mm](0,2\pi][/mm].

Wegen [mm]\wurzel{\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)^2+\left(-\bruch{1}{\wurzel{2}\right)^2}}=1[/mm] ist mein [mm]r=1 [/mm] und mein [mm]\varphi=\bruch{7}{4}\pi[/mm]

Aha! hier ist mein Fehler. Wegen falschem Vorzeichen kam ich zunächst auf [mm]\varphi=2\bruch{1}{4}\pi[/mm].

Es ist also:

[mm] \bruch{1-i}{\wurzel{2}}=e^{i\bruch{7}{4}\pi } [/mm]   daher ist    [mm] z=\left( \bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{24}=e^{i42\pi}=1 [/mm]

Danke für eure Hilfe!


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