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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:11 Sa 17.10.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Gegeben seien paarweise verschiedene Stützstellen [mm] x_{i} [/mm] i=(0,...n) und eine Funktion [mm] f\in C^{1}([a,b]. [/mm] Gesucht ist ein Polynom p vom Höchstgrad 2n+1 mit
[mm] p(x_{i})= f(x_{i}) [/mm] und [mm] p'(x_{i})=f'(x_{i}) [/mm] i=0..n
(b) Geben Sie das Interpolationspolynom p an und beweisen sie seine Eindeutigkeit
(c) Seit f [mm] \in C^{2n+2}([a,b]) [/mm] gegeben. Zeigen Sie für das resultirende Interpolationspolynom p die Fehlerdarstellung
f(x)-p(x) = [mm] \bruch{f^{2n+2}}{2n+2)!} *w_{n+1}(x)^{2} [/mm] für ein bestimmtes [mm] x\in [/mm] [a,b]
und leiten sie daurs eine von x unabhängige Fehlerdarstellung ab |
Hallo
den ersten Aufgabenteil b hab ich einfach mal im Internet nachgesehn , auf diesen Term wäre ich selbst allerdings niemals gekommen, bei der Eindeutigkeit wird derart argumentiert ,dass , wenn p und q eine Lösung wären , p-q 2n+2 Nullstellen haben müsse, da die Nullstellen xo,x1.. alle doppelte Nst. sind , aber warum ?
Bei c hab ich noch nicht so den richtigen Ansatz...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 18.10.2009 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | (a) Ermittle unter Verwendung der Lagrange-Polynome die zugehörigen Grundpolynome [mm] s_i [/mm] und [mm] t_i [/mm] (i=0,...,n), die durch die Bedingungen
[mm] s_i(x_j)=\delta_ {ij}[/mm] [mm] t_i(x_j)=0[/mm]
[mm]s'_i(x_j)=0 [/mm] [mm] t'_i(x_j)=\delta_ {ij} [/mm]
definiert sind.
(b) Gib das Interpol.pol. [mm]p[/mm] an u. beweise seine Eindeutigkeit.
(c) Sei [mm] f\in C^{2n+2}([a,b]) [/mm] gegeben. Zeige für das resultierende Interpol. pol. [mm]p[/mm] die Fehlerdarstellung [mm] f(x)-p(x)= \bruch{f^{(2n+2)}(\varepsilon_x)}{(2n+2)!}*(w_{n+1}(x))^{2} [/mm] ,
für ein [mm] \varepsilon_x \in (a,b) [/mm] und leite daraus eine (von x unabhängige) Fehlerabschätzung ab.
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hallo ihr lieben,
bin schon gestern abend an der aufgabe gesessen und zu keinem ergebnis gekommen. heute morgen habe ich versucht, ein wenig nachzulesen (skript, i-net...) aber hat nicht wirklich weiter geholfen.
worum geht´s?
um hermite interpol. : gegeben seien paarweise versch. stützstellen [mm] x_i(i=0,...,n) [/mm] und eine funktion [mm] f\in C^1([a,b])[/mm] . Gesucht ist ein polynom [mm]p[/mm] vom Höchstgrad 2n+1 mit:
[mm]p(x_i) = f(x_i)[/mm] [mm]p'(x_i) = f'(x_i)[/mm] [mm]i = 0,...,n[/mm]
Frage zu (a):
es sind 2 grundpolynome [mm] (s_i [/mm] und [mm] t_i) [/mm] gesucht. da ich für beide je einen funktionswert u. einen ableitungswert habe, nehme ich mal an, dass die gesuchten grundpolynome vom grad 1 sind. (oder?)
Nach Lagrange gilt: [mm]p(x) = \summe_{i=1}^{n}f_i * L_i [/mm] [mm] mit L_i = \produkt_{i=1, j\not=i}^{n}\bruch{x-x_j}{x_i-x_j} [/mm]
nun hakt es aber schon und die indizes verwirren mich nur.
kann man das mit der methode der dividierten differenzen machen? wie?
oder gibt es eine einfachere methode um die pol. vom grad 1 zu bestimmen?
vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:57 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (a) Ermittle unter Verwendung der Lagrange-Polynome die
> zugehörigen Grundpolynome [mm]s_i[/mm] und [mm]t_i[/mm] (i=0,...,n), die
> durch die Bedingungen
>
> [mm]s_i(x_j)=\delta_ {ij}[/mm] [mm]t_i(x_j)=0[/mm]
> [mm]s'_i(x_j)=0[/mm] [mm]t'_i(x_j)=\delta_ {ij}[/mm]
>
> definiert sind.
>
> (b) Gib das Interpol.pol. [mm]p[/mm] an u. beweise seine
> Eindeutigkeit.
>
> (c) Sei [mm]f\in C^{2n+2}([a,b])[/mm] gegeben. Zeige für das
> resultierende Interpol. pol. [mm]p[/mm] die Fehlerdarstellung
> [mm]f(x)-p(x)= \bruch{f^{(2n+2)}(\varepsilon_x)}{(2n+2)!}*(w_{n+1}(x))^{2}[/mm]
> ,
> für ein [mm]\varepsilon_x \in (a,b) [/mm] und leite daraus eine
> (von x unabhängige) Fehlerabschätzung ab.
>
> hallo ihr lieben,
>
> bin schon gestern abend an der aufgabe gesessen und zu
> keinem ergebnis gekommen. heute morgen habe ich versucht,
> ein wenig nachzulesen (skript, i-net...) aber hat nicht
> wirklich weiter geholfen.
>
> worum geht´s?
> um hermite interpol. : gegeben seien paarweise versch.
> stützstellen [mm]x_i(i=0,...,n)[/mm] und eine funktion [mm]f\in C^1([a,b])[/mm]
> . Gesucht ist ein polynom [mm]p[/mm] vom Höchstgrad 2n+1 mit:
> [mm]p(x_i) = f(x_i)[/mm] [mm]p'(x_i) = f'(x_i)[/mm] [mm]i = 0,...,n[/mm]
>
> Frage zu (a):
> es sind 2 grundpolynome [mm](s_i[/mm] und [mm]t_i)[/mm] gesucht. da ich für
> beide je einen funktionswert u. einen ableitungswert habe,
Nein, du hast $n + 1$ Funktionswerte und $n + 1$ Ableitungswerte: fuer [mm] $s_i$ [/mm] gilt z.B. [mm] $s_i(x_j) [/mm] = 0$ fuer alle $j [mm] \neq [/mm] i$ und [mm] $s_i(x_i) [/mm] = 1$. Und fuer alle $j$ gilt [mm] $s_i'(x_j) [/mm] = 0$. Das sind insgesamt $2 (n + 1)$ Bedingungen, womit du ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 2 n + 1$ herausbekommst.
(Das gleiche gilt fuer [mm] $t_i$.)
[/mm]
> nehme ich mal an, dass die gesuchten grundpolynome vom grad
> 1 sind. (oder?)
Das ist damit i.A. falsch.
> Nach Lagrange gilt: [mm]p(x) = \summe_{i=1}^{n}f_i * L_i [/mm] [mm]mit L_i = \produkt_{i=1, j\not=i}^{n}\bruch{x-x_j}{x_i-x_j}[/mm]
>
> nun hakt es aber schon und die indizes verwirren mich nur.
Dann hast du ein echtes Problem. Denn ohne die Indices wirst du die Aufgabe nicht loesen koennen. (Du musst uebrigens mit $i = 0$ anfangen.)
Schreib dir doch mal fuer $n = 2$ oder $n = 3$ die Polynome auf und versuche zu verstehen, was sie machen (in dem du etwa [mm] $x_0, \dots, x_n$ [/mm] einsetzt und schaust was jeweils rauskommt/passiert).
Wie man z.B. die [mm] $t_i$ [/mm] findet mit Hilfe der Lagrange-Polynome?
Seien $f, g : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] zwei differenzierbare Funktionen und $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(a) = 0$, $f'(a) [mm] \neq [/mm] 0$, $g(a) = 1 / f'(a)$. (So etwas kannst du mit Lagrange konstruieren.) Dann gilt $(f g)(a) = 0$ und $(f g)'(a) = 1$ (warum?).
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:59 Di 20.10.2009 | | Autor: | dorix |
Hallo felix,
vielen dank erstmal, doch bin ich immer noch nicht auf dem richtigen weg...
habe mal deinen rat befolgt und für n=2 das lagrange polynom erstellt.
nun fehlen mir aber die funktionswerte, die es annehmen soll, sprich [mm] f_i.
[/mm]
und wie ich da noch die bedingung für die ableitungen verarbeiten soll ist mir auch nicht klar, sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 22.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:39 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Da die beiden Fragen ziemlich aehnlich aussehen habe ich sie mal in den gleichen Thread verschoben.
> Gegeben seien paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_{i}[/mm]
> i=(0,...n) und eine Funktion [mm]f\in C^{1}([a,b].[/mm] Gesucht ist
> ein Polynom p vom Höchstgrad 2n+1 mit
> [mm]p(x_{i})= f(x_{i})[/mm] und [mm]p'(x_{i})=f'(x_{i})[/mm] i=0..n
> (b) Geben Sie das Interpolationspolynom p an und beweisen
> sie seine Eindeutigkeit
> (c) Seit f [mm]\in C^{2n+2}([a,b])[/mm] gegeben. Zeigen Sie für
> das resultirende Interpolationspolynom p die
> Fehlerdarstellung
> f(x)-p(x) = [mm]\bruch{f^{2n+2}}{2n+2)!} *w_{n+1}(x)^{2}[/mm] für
> ein bestimmtes [mm]x\in[/mm] [a,b]
> und leiten sie daurs eine von x unabhängige
> Fehlerdarstellung ab
>
> Hallo
> den ersten Aufgabenteil b hab ich einfach mal im Internet
> nachgesehn , auf diesen Term wäre ich selbst allerdings
> niemals gekommen,
Ok.
> bei der Eindeutigkeit wird derart
> argumentiert ,dass , wenn p und q eine Lösung wären , p-q
> 2n+2 Nullstellen haben müsse, da die Nullstellen xo,x1..
> alle doppelte Nst. sind , aber warum ?
Na, was ist denn $(p - [mm] q)(x_i)$ [/mm] und $(p - [mm] q)'(x_i)$? [/mm] Ist damit nicht [mm] $x_i$ [/mm] eine doppelte Nullstelle von $p - q$?
> Bei c hab ich noch nicht so den richtigen Ansatz...
Eine aehnliche Abschaetzung kennst du doch sicher von der Lagrange-Interpolation her. Schau dir doch mal an, wie sie da hergeleitet wird, vielleicht kannst du hier etwas aehnliches machen?
LG Felix
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