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| Aufgabe | Zu lösen ist die GDgl
[mm] $y'=1+y^2$ [/mm] |
Hallo zusammen,
wir haben gerade mit GDgl angefangen und ich werde noch verrückt, weil ich diese einfach aussehende DGl nicht verarztet bekomme.
Es soll wohl rauskommen: [mm] $y(x)=\tan(x+c)$ [/mm]
Das stimmt auch, wenn ma's ableitet, passt es
Ich habe zuerst versucht, das homogene Problem [mm] $y'=y^2$ [/mm] zu lösen.
Das ergab [mm] $\frac{dy}{dx}\frac{1}{y^2}=1\Rightarrow \frac{1}{y^2}dy=1dx$
[/mm]
Integrieren und umformen ergab [mm] $y=-\frac{1}{x+c}$
[/mm]
Nun Variation der Konstanten: [mm] $y(x)=-\frac{1}{x+c(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y'(x)=\frac{1+c'(x)}{(x+c(x))^2}=\frac{1}{(x+c(x))^2}+\frac{c'(x)}{(x+c(x))^2}$
[/mm]
Also Vergleich mit der Ursprungsgl. [mm] $\Rightarrow \frac{c'(x)}{(x+c(x))^2}=1$
[/mm]
Also [mm] $c'(x)=(x+c(x))^2$
[/mm]
Und nu ist Ende :(
Hoffe, jemand kann mir Erleuchtung bringen
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus!
Es geht viel leichter: mit Trennung der Variablen!
$$y' \ = \ [mm] 1+y^2$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] 1+y^2$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{1+y^2} [/mm] \ = \ dx$$
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dy}{1+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}dx$$
[/mm]
[mm] $$\arctan(y) [/mm] \ = \ x+c$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Brett vor'm Kopf. Ich hatte mich so auf die andere Rechnung versteift...
Danke sehr.
Warum klappt das denn mit meiner umständlichen Rechnung nicht?
Ich finde keinen Fehler... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
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