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einfache Extremwertprobleme: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mo 15.08.2005
Autor: Grischa

Huhu,
tut mir Leid das ich nochmal störe :P, aber ich hab noch eine Verständnisfrage.
Ich habe die Extremwertprobleme mit Nebenbedingung, bereits verstanden.

Nun hab ich eine wohl Klassische Extremwertproblemaufgabe!

Frage:
Aus einem Stück Pappe der Länge 16cm und der Breite 10cm werden an den Ekchen Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach offenen Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert von x wird das Volumen der Schachtel maximal?Wie groß ist das maximale Volumen?

Bei der Nebenbedingung war die Reihenfolge ja:
1. nach einer Variablen auflösen
2. In die 2. Funktion einsetzen
3. Ableitung
4. glech 0 setzen
5. Naja und dann den anderen wert ausrechnen.


Jetzt bin ich mir bei dieser "einfachen" Aufgabe nicht ganz sicher.

Meine Idee war Schritt 1. und 2. wegzulassen, da man ja nur eine Variable hat. Dennoch komme ich auf keine anständige Lösung.

Bitte helft mir ;)


P.S.  Ne Suchfunktion in eurem Forum wär ganz hilfreich, ich wette die Frage wurde schon mal gestellt, habe aber im Forum kein anderes Thema gefunden :((

Würde mich sehr über eine Antwort freuen!



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
einfache Extremwertprobleme: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 21:44 Mo 15.08.2005
Autor: svenchen

da bin ich mir nich zu 100 Prozent sicher und es sollte sich einer mal mit meiner Lösung befassen. Aber ich meine doch stark:

Das Volumen berechnet sich zu V = Länge * Breite * Höhe

also wäre das dann auf die Aufgabe bezogen


V(x) = (16 - x ) * (10 - x ) * x

V(x) = (160 - 16x - 10x + [mm] x^2)x [/mm]

V(x) = 160x - [mm] 16x^2 [/mm] - [mm] 10x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm]

V'(X) = [mm] 3x^2 [/mm] - 52x + 160

[durch 3 teilen und dann PQ Formel]

x = 4 und x = 13,333333

da die 2. Lösung für die Aufgabe nicht in Frage kommt gilt nur x = 4


Nur übernehme das nur wenn einer hier was dazu gesgat hat ;)

MfG

Sven
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einfache Extremwertprobleme: falsche Überlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mo 15.08.2005
Autor: rotzel

Hallo Sven,

ich bin der Meinung, dass in deinem Ansatz ein Fehler ist:

> da bin ich mir nich zu 100 Prozent sicher und es sollte
> sich einer mal mit meiner Lösung befassen. Aber ich meine
> doch stark:
>  
> Das Volumen berechnet sich zu V = Länge * Breite * Höhe
>  
> also wäre das dann auf die Aufgabe bezogen
>  
>

V(x) = (16 - 2x ) * (10 - 2x ) * x // Du hast ja 2 Ecken pro Seite
>  
> V(x) = (160 - 16x - 10x + [mm]x^2)x[/mm]
>  
> V(x) = 160x - [mm]16x^2[/mm] - [mm]10x^2[/mm] + [mm]x^3[/mm]
>  
> V'(X) = [mm]3x^2[/mm] - 52x + 160
>  
> [durch 3 teilen und dann PQ Formel]
>  
> x = 4 und x = 13,333333
>  
> da die 2. Lösung für die Aufgabe nicht in Frage kommt gilt
> nur x = 4
>  
>
> Nur übernehme das nur wenn einer hier was dazu gesgat hat
> ;)
>  
> MfG
>  
> Sven

Gruss Rotzel

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einfache Extremwertprobleme: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 Di 16.08.2005
Autor: Grischa

Jo das mit 2x hatte ich auch, beim Umformen komm ich dann auf:

V = x³ -13 x² +40x

V ' = 3x² -26x +40


und nu? Ich mein abc formel oder pq funktionieren ja nur beo quadratischen funktionen!

Bezug
                                
Bezug
einfache Extremwertprobleme: Korrektur + Nullsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Di 16.08.2005
Autor: Roadrunner

Guten Morgen Grischa!


[willkommenmr]

> V = x³ -13 x² +40x

[notok] Hier hast Du irgendwo den Faktor 4 "verloren":

$V(x) \ = \ [mm] \red{4}*\left(x^3-13x^2+40x\right)$ [/mm]


  
> V ' = 3x² -26x +40

Hier dann genauso (konstanter Faktor bleibt ja erhalten beim ableiten nach der MBFaktorregel): $V'(x) \ = \ [mm] \red{4}*\left(3x^2-26x+40\right)$ [/mm]

Wie lautet die 2. Ableitung $V''(x)_$ ??

  
> und nu? Ich mein abc formel oder pq funktionieren ja nur
> beo quadratischen funktionen!

Die quadratische Gleichung erhältst Du durch Gleichsetzen mit Null der 1. Ableitung (notwendiges Kriterium):

[mm] $4*\left(3x^2-26x+40\right) [/mm] \ = \ 0$

[mm] $\gdw$ $3x^2-26x+40 [/mm] \ = \ 0$

[mm] $\gdw$ $x^2-\bruch{26}{3}x+\bruch{40}{3} [/mm] \ = \ 0$


Und nun kannst Du ja wirklich mit der MBp/q-Formel die möglichen Extremstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] berechnen.

Davon entfällt aber eine der beiden Lösungen, da diese geometrisch nicht sinnvoll ist.


Gruß vom
Roadrunner

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einfache Extremwertprobleme: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 Di 16.08.2005
Autor: Grischa

Ich glaube ich habe meinen fehler gefunden, ich hab am Anfang :4 geteilt anstatt 4 auszuklammern.  Durch 4 darf man warscheinlich nur teilen, wenn  eine Equivalenzgleichung (oder wie das heisst ;P ) hat.
Ich zeichne mal meinen Rechenweg auf!

V = (16-2x) * (10-2x) * x
   = (160 - 52x + 4x²) * x
   =  160x -52x² + 4x³       / 4 ausklammern
   =  4 ( x³ - 13x² + 40x)

Jetzt die Ableitung:

V ' = 4 ( 3x³ - 26x +40 )

Die Ableitung = 0 setzen!

0 = 4 ( 3x³ - 26x +40 )    / :4 teilen
0 =  3x³ - 26x +40

Und darauf jetzt die abc-Formel anwenden!

Ergebnis x1 =  [mm] \bruch{20}{3} [/mm]  ; x2 = 2


feddisch ??!!

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einfache Extremwertprobleme: Noch nicht ganz fertig ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Di 16.08.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Grischa!


> Ich glaube ich habe meinen fehler gefunden, ich hab am
> Anfang :4 geteilt anstatt 4 auszuklammern.  Durch 4 darf
> man warscheinlich nur teilen, wenn  eine
> Equivalenzgleichung (oder wie das heisst ;P ) hat.

[daumenhoch] Ganz genau!


>  Ich zeichne mal meinen Rechenweg auf!
>  
> V = (16-2x) * (10-2x) * x
> = (160 - 52x + 4x²) * x
> =  160x -52x² + 4x³       / 4 ausklammern
> =  4 ( x³ - 13x² + 40x)

[ok]

  
> Jetzt die Ableitung:
>  
> V ' = 4 ( 3x³ - 26x +40 )
>  
> Die Ableitung = 0 setzen!
>  
> 0 = 4 ( 3x³ - 26x +40 )    / :4 teilen
> 0 =  3x³ - 26x +40
>  
> Und darauf jetzt die abc-Formel anwenden!
>  
> Ergebnis x1 =  [mm]\bruch{20}{3}[/mm]  ; x2 = 2

[ok] Sind denn beide Lösungen geometrisch sinnvoll?

Denke mal an die Abmessungen des Blattes ...


> feddisch ??!!

[notok] Nicht ganz ...

Zunächst musst Du ja noch kontrollieren, ob es sich überhaupt um ein Maximum handelt (hinreichendes Kriterium: [mm] $V''(x_e) [/mm] \ < \ 0$).

Außerdem musst Du ja dann noch das maximale Volumen bestimmen, indem Du den entsprechenden x-Wert in die Volumen-Funktion einsetzt: [mm] $V_{max} [/mm] \ = \ [mm] V(x_e) [/mm] \ = \ ...$


Gruß vom
Roadrunner

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einfache Extremwertprobleme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Di 16.08.2005
Autor: Grischa

Sauber danke an Alle!
Das mit der 2. Ableitung haben wir heute auch noch in der Schule besproche!

Mercciiii
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