einfache Abschätzung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich verstehe irgendwie gerade nicht, warum folgende Abschätzung gilt:
[mm] \bruch{n!}{n^n}\le\bruch{1}{n}
[/mm]
das ist sicher nicht so schwierig, denn es steht hier ohne Begrüdung in einem Beweis zu Nullfolgen. Aber ich komme irgendwie nicht drauf.
Wer kann mir da helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Schreib' doch den linken Bruch einfach mal ausformuliert (d.h. in Langform) hin:
[mm]\bruch{n!}{n^n} \ = \ \bruch{\overbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}^{n \ Faktoren}}{\underbrace{n*n*n*...*n*n}_{n \ Faktoren}} \ = \ \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}* \bruch{3}{n}* ...*\bruch{n-1}{n}* \bruch{n}{n}}_{n \ Faktoren}[/mm]
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Für alle Brüche nach dem [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] gilt doch: $0 \ < \ [mm] \bruch{c}{n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$
Und damit gilt: [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}* \bruch{3}{n}* ...*\bruch{n-1}{n}* \bruch{n}{n} \ \le \ \bruch{1}{n} * \underbrace{1*1*...*1*1}_{n-1 \ Faktoren} \ = \ \bruch{1}{n}[/mm]
Gruß
Loddar
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
Wusste ich doch, dass es nicht allzu schwierig sein kann und ich nur ein Brett vor dem Kopf hatte. 