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einfach zusammenhängend: Stammfunktion existent?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Sa 18.01.2014
Autor: Ladon

Hallo,

ich beschäftige mich momentan mit Stammfunktionen auf einfach zusammenhängenden Gebieten [mm] U\subseteq \IR^n. [/mm] Wir haben diesbezüglich folgenden Satz in der Vorlesung gehört.
[mm] U\subseteq\IR^n [/mm] einfach zusammenhängendes Gebiet => Jede geschlossene 1-Form auf U ist exakt.
Damit hat die 1-Form auch eine Stammfunktion. Ich frage mich aber, ob eine geschlossene 1-Form auf einem nicht einfach zusammenhängenden Gebiet dennoch eine Stammfunktion besitzt (Die Implikation suggeriert dies ja, sonst hätte man wahrscheinlich den Satz im Sinne einer Äquivalenz formuliert ;-)) und wenn ja fällt euch spontan ein Beispiel ein.
Ich freue mich auf eure Antworten.

MfG Ladon

        
Bezug
einfach zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 So 19.01.2014
Autor: Berieux

Hallo.

> Hallo,
>  
> ich beschäftige mich momentan mit Stammfunktionen auf
> einfach zusammenhängenden Gebieten [mm]U\subseteq \IR^n.[/mm] Wir
> haben diesbezüglich folgenden Satz in der Vorlesung
> gehört.
>  [mm]U\subseteq\IR^n[/mm] einfach zusammenhängendes Gebiet => Jede

> geschlossene 1-Form auf U ist exakt.
>  Damit hat die 1-Form auch eine Stammfunktion. Ich frage
> mich aber, ob eine geschlossene 1-Form auf einem nicht
> einfach zusammenhängenden Gebiet dennoch eine
> Stammfunktion besitzt (Die Implikation suggeriert dies ja,
> sonst hätte man wahrscheinlich den Satz im Sinne einer
> Äquivalenz formuliert ;-)) und wenn ja fällt euch spontan
> ein Beispiel ein.
>  Ich freue mich auf eure Antworten.

Natürlich gibt es auch auf nicht einfach zusammenhängenden Gebieten exakte 1-Formen.
Was du wissen willst ist vermutlich ob es Mannigfaltigkeiten gibt die nicht einfach zusammenhängend sind auf denen aber dennoch jede geschlossene 1-Form exakt ist. Sowas existiert tatsächlich, und zwar zB die Homologiesphären. Diese haben dieselben Bettizahlen wie gewöhnliche Sphären, sind aber nicht einfach zusammenhängend.

siehe []hier.

Viele Grüße,
berieux
>  
> MfG Ladon
>  

Bezug
                
Bezug
einfach zusammenhängend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 So 19.01.2014
Autor: Ladon

Ja, du hast meine Frage richtig gedeutet. Vielen Dank für deine Antwort!

LG Ladon
Bezug
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