eindeutiges Polynom < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abend :)
Ich hab eine Frage, auf der ich eine Antwort suche.
Es sind zwei Punkte A(x,y) und B(r,s) gegeben-
Unter welchen 3 Bedingungen an x,r bestimmen A und B und der Urspung
ein eindeutiges Polynom 3.Grades?
LG,
Muellermilch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Mo 03.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Muellermilch!
> Ich hab eine Frage, auf der ich eine Antwort suche.
> Es sind zwei Punkte A(x,y) und B(r,s) gegeben-
> Unter welchen 3 Bedingungen an x,r bestimmen A und B und
> der Urspung
> ein eindeutiges Polynom 3.Grades?
Unter keinen. Mal hapert es an der Existenz, mal an der Eindeutigkeit.
LG Felix
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Aber es müssten doch drei einfache Bedingungen geben,
sonst wäre die Frage nicht gestellt? Dies soll sogar herleitbar sein-
nur komme ich nicht auf die Bedingungen
Lg,
muellermilch
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Hallo Müllermilch,
wenn die Aufgabe von Dir so richtig und vollständig wiedergegeben ist - was ich bezweifle! - dann gibt es nur eine Lösung. Die drei Bedingungen sind:
1) Der Aufgabenlöser ist Hellseher.
2) Der Aufgabensteller ist gnädig und akzeptiert die Angabe einer einzigen möglichen Lösung als richtig.
3) Die tatsächliche Lösung der Aufgabe ist beiden vollkommen egal.
Ansonsten stimmt schon in der Notation etwas nicht. Ist gemeint, das zwei Punkte gegeben sind? Also A=(x,y) und B=(r,s)? Gibt es zusätzliche Beziehungen zwischen den vier Variablen/Parametern r,s,x,y? Oder ist B eigentlich eher B=(r,y)?
Unter den zusätzlichen Bedingungen für [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] muss ja auf jeden Fall erfüllt sein:
1) Man braucht eine zusätzliche Information über f(x), z.B. Maximum bei [mm] x_{Ma} [/mm] oder entsprechend für ein Minimum, oder die Angabe "weder Maximum noch Minimum existieren", oder die Lage eines Wendepunkts, oder vielleicht die Angabe "Maximum liegt zwischen A und B und Minimum bei [mm] x_{Mi}>r" [/mm] etc.
2) Man braucht noch eine zweite Information, z.B. c=0 oder Ähnliches.
3) Eine dritte Information braucht man dann allerdings meistens nicht!
Also: wie lautet die vollständige Aufgabe?
Grüße
reverend
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Die Aufgabenstellung:
Es seien 2 Punkte A(x,y) und B(r,s) gegeben.
Unter welchen 3 einfachen Bedingungen an x,r bestimmen A,B und
der Ursprung ein eindeutiges Polynom 3.Grades?
Leiten Sie diese Bedingungen möglichst einfach her.
SO lautet die Aufgabenstellung.
x und r sind jeweils die x-Koordinaten der beiden Punkte.
y und s die y-Koordinaten.
Ich würde ja einfach sagen:
f(x)=y=ax3+bx2+cx+d
1. bed: f(x) = y
2. bed: f(r) = s
3. f(0) = 0
LG,
Muellermilch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung:
> Es seien 2 Punkte A(x,y) und B(r,s) gegeben.
> Unter welchen 3 einfachen Bedingungen an x,r bestimmen A,B
> und
> der Ursprung ein eindeutiges Polynom 3.Grades?
> Leiten Sie diese Bedingungen möglichst einfach her.
der letzte Satz ist übrigens schon fast unverschämt: Wer beurteilt denn,
ob das "möglichst einfach" ist? Vielleicht findet man was einfaches, aber
es geht dennoch einfacher...
> SO lautet die Aufgabenstellung.
> x und r sind jeweils die x-Koordinaten der beiden Punkte.
> y und s die y-Koordinaten.
>
> Ich würde ja einfach sagen:
> f(x)=y=ax3+bx2+cx+d
Schreib' das so: [mm] $f(x)=y=ax^3+bx^2+cx+d\,.$
[/mm]
Und besser, weil [mm] $x\,$ [/mm] hier schon eine feste Variable ist:
[mm] $$f(t):=at^3+bt^2+ct+d\,.$$
[/mm]
> 1. bed: f(x) = y
> 2. bed: f(r) = s
> 3. f(0) = 0
Naja, aus 3. folgt [mm] $d=0\,.$ [/mm] Aus 1. wissen wir dann
[mm] $$ax^3+bx^2+cx=y$$
[/mm]
und aus 2. erfahren wir
[mm] $$ar^3+br^2+cr=s\,.$$
[/mm]
Du hast nun zwei Gleichungen für die drei Variablen [mm] $a,b,c\,.$ [/mm] Da Du ein
Polynom 3. Grades haben willst, muss $a [mm] \not=0$ [/mm] sein.
Weder [mm] $x\,$ [/mm] noch [mm] $r\,$ [/mm] kann Null sein, also kannst Du weiterrechnen:
[mm] $$b(x^2r^3-r^2x^3)+c(xr^3-rx^3)=yr^3-sx^3$$
[/mm]
[mm] $$\iff b\;x^2r^2(r-x)+c\;xr(r^2-x^2)=yr^3-sx^3\,.$$
[/mm]
So, na dann erzähl mal, unter welchen drei Bedingungen an [mm] $x,\,r\,$ [/mm] das Polynom
dann eindeutig ist - d.h., dass die letzte Gleichung genau ein Lösungspaar
$(b,c) [mm] \in \IR^2=\IR \times \IR$ [/mm] hat!
P.S. Steht in der Aufgabe vielleicht noch sowas unbedeutendes wie, dass
das Polynom eine ungerade Funktion sein soll?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Ansonsten stimmt schon in der Notation etwas nicht. Ist
> gemeint, das zwei Punkte gegeben sind? Also A=(x,y) und
> B=(r,s)?
viele schreiben [mm] $P(p_1|p_2)$ [/mm] (oder auch [mm] $P(p_1,p_2)$) [/mm] anstatt [mm] $P=(p_1|p_2)$ [/mm] (bzw. [mm] $P=(p_1,p_2)$).
[/mm]
Der Sinn oder gar Vorteil dieser Notation ist mir unklar, aber es ist mir schon
oft über den Weg gelaufen. Ich mag' das nicht, akzeptiere es aber (sogar
eher wie die Notation [mm] $\underbrace{f}_{=f(x)}=O(g)\,,$ [/mm] ($x [mm] \to x_0$) [/mm] , die man auch direkt richtig als
[mm] $\underbrace{f}_{=f(x)} \in [/mm] O(g)$ ($x [mm] \to x_0$) [/mm] schreiben kann. Ich glaube, ich werde demnächst
auch die Notation $f(x) [mm] \stackrel{x \to x_0}{\in}O(g(x))$ [/mm] publik dafür machen. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
eine verständliche und "korrekte" Notation wäre an vielen Stellen wirklich hilfreich. Leider gibt es aber nicht nur immer noch, sonder eher immer mehr Unklarheiten und dadurch bedingt unterschiedliche Aufschriebe.
Im allgemeinen plädiere ich nicht für die Zunahme an Bürokratie, aber eine akzeptierte internationale Institution für die Festlegung mathematischer Notation(en) wäre schon sehr hilfreich.
> > Ansonsten stimmt schon in der Notation etwas nicht. Ist
> > gemeint, das zwei Punkte gegeben sind? Also A=(x,y) und
> > B=(r,s)?
>
> viele schreiben [mm]P(p_1|p_2)[/mm] (oder auch [mm]P(p_1,p_2)[/mm]) anstatt
> [mm]P=(p_1|p_2)[/mm] (bzw. [mm]P=(p_1,p_2)[/mm]).
>
> Der Sinn oder gar Vorteil dieser Notation ist mir unklar,
> aber es ist mir schon
> oft über den Weg gelaufen.
Ja, klar. Es steht schon in Schulbüchern. Meistens ist nicht einmal ordentlich definiert, aus welchen Definitionsmengen [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] eigentlich stammen. Dafür wären zahlreiche Schreibweisen denkbar, z.B. [mm] \vec{x}=(\IQ,\IR)^T, [/mm] aber eben auch zahlreiche andere.
> Ich mag' das nicht, akzeptiere
> es aber (sogar
> eher wie die Notation [mm]\underbrace{f}_{=f(x)}=O(g)\,,[/mm] ([mm]x \to x_0[/mm])
> , die man auch direkt richtig als
> [mm]\underbrace{f}_{=f(x)} \in O(g)[/mm] ([mm]x \to x_0[/mm]) schreiben
> kann. Ich glaube, ich werde demnächst
> auch die Notation [mm]f(x) \stackrel{x \to x_0}{\in}O(g(x))[/mm]
> publik dafür machen.
Liest sich verständlich. Ich würde [mm] x\to{x_0} [/mm] sogar eher unter das $f(x)$ schreiben, wie beim Limes. Das ist aber auch Geschmackssache. Hauptsache, die Notation ist eindeutig. Und von mir aus eben am liebsten auch festgelegt.
Wir haben aktuell ein ähnliches Problem in der Notation von Musik. Die bisherigen Notationen auf x Notenzeilen (normalerweise 5) oder in Tabulaturen genügen nicht, um neue Musik zu notieren. Auch da gibt es bisher keinen Standard, aber viel an innovativer Kreativität.
Herzliche Grüße
reverend
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> eine verständliche und "korrekte" Notation wäre an vielen
> Stellen wirklich hilfreich. Leider gibt es aber nicht nur
> immer noch, sonder eher immer mehr Unklarheiten und dadurch
> bedingt unterschiedliche Aufschriebe.
> Im allgemeinen plädiere ich nicht für die Zunahme an
> Bürokratie, aber eine akzeptierte internationale
> Institution für die Festlegung mathematischer Notation(en)
> wäre schon sehr hilfreich.
>
> > > Ansonsten stimmt schon in der Notation etwas nicht. Ist
> > > gemeint, das zwei Punkte gegeben sind? Also A=(x,y)
> und
> > > B=(r,s)?
> >
> > viele schreiben [mm]P(p_1|p_2)[/mm] (oder auch [mm]P(p_1,p_2)[/mm])
> anstatt
> > [mm]P=(p_1|p_2)[/mm] (bzw. [mm]P=(p_1,p_2)[/mm]).
> >
> > Der Sinn oder gar Vorteil dieser Notation ist mir
> unklar,
> > aber es ist mir schon
> > oft über den Weg gelaufen.
>
> Ja, klar. Es steht schon in Schulbüchern. Meistens ist
> nicht einmal ordentlich definiert, aus welchen
> Definitionsmengen [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] eigentlich stammen. Dafür
> wären zahlreiche Schreibweisen denkbar, z.B.
> [mm]\vec{x}=(\IQ,\IR)^T,[/mm] aber eben auch zahlreiche andere.
wie meinst Du das? [mm] $\vec{x}=(\IQ,\IR)^T$ [/mm] wäre schlecht, das würde [mm] $\vec{x}=(x_1,x_2)^T$ [/mm] mit [mm] $x_1=\IQ$ [/mm]
und [mm] $x_2=\IR$ [/mm] bedeuten.
[mm] $\vec{x} \in (\IQ,\IR)^T$ [/mm] würde man sicher eher verstehen. Aber es geht auch
relativ einfach, sofern [mm] $\vec{x}$ [/mm] bei Dir ein (zweikomponentiger) Spaltenvektor ist:
[mm] $$\vec{x}^T \in \IQ \times \IR\,.$$
[/mm]
Noch einfacher: [mm] $\vec{x}=(x_1,x_2)^T$ [/mm] mit [mm] $x_1 \in \IQ$ [/mm] und [mm] $x_2 \in \IR\,.$
[/mm]
Aufwändig, aber gerade für Schüler sicher die verständlichste Notation!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:30 Di 04.06.2013 | | Autor: | reverend |
Hi Marcel,
> > eine verständliche und "korrekte" Notation wäre an vielen
> > Stellen wirklich hilfreich.
[...]
> > Meistens ist
> > nicht einmal ordentlich definiert, aus welchen
> > Definitionsmengen [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] eigentlich stammen. Dafür
> > wären zahlreiche Schreibweisen denkbar, z.B.
> > [mm]\vec{x}=(\IQ,\IR)^T,[/mm] aber eben auch zahlreiche andere.
>
> wie meinst Du das? [mm]\vec{x}=(\IQ,\IR)^T[/mm] wäre schlecht, das
> würde [mm]\vec{x}=(x_1,x_2)^T[/mm] mit [mm]x_1=\IQ[/mm]
> und [mm]x_2=\IR[/mm] bedeuten.
Genau das meinte ich. Also eine verständliche Notation.
> [mm]\vec{x} \in (\IQ,\IR)^T[/mm] würde man sicher eher verstehen.
Zugegeben, besser.
> Aber es geht auch
> relativ einfach, sofern [mm]\vec{x}[/mm] bei Dir ein
> (zweikomponentiger) Spaltenvektor ist:
> [mm]\vec{x}^T \in \IQ \times \IR\,.[/mm]
Etwa so gut wie die letzte Variante, finde ich.
> Noch einfacher:
> [mm]\vec{x}=(x_1,x_2)^T[/mm] mit [mm]x_1 \in \IQ[/mm] und [mm]x_2 \in \IR\,.[/mm]
>
> Aufwändig, aber gerade für Schüler sicher die
> verständlichste Notation!
Ja, und damit zu bevorzugen. Keep things simple. Für eine solche Notation ziehe ich meinen Vorschlag gern zurück. Aber genau das ist der Punkt: Fachleute sollten beratschlagen, was hier die beste Lösung ist - und sie wenn möglich normieren. Es würde viel Raterei ersparen.
Herzliche Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:15 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hi Marcel,
>
> > > eine verständliche und "korrekte" Notation wäre an
> vielen
> > > Stellen wirklich hilfreich.
> [...]
> > > Meistens ist
> > > nicht einmal ordentlich definiert, aus welchen
> > > Definitionsmengen [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] eigentlich stammen.
> Dafür
> > > wären zahlreiche Schreibweisen denkbar, z.B.
> > > [mm]\vec{x}=(\IQ,\IR)^T,[/mm] aber eben auch zahlreiche
> andere.
> >
> > wie meinst Du das? [mm]\vec{x}=(\IQ,\IR)^T[/mm] wäre schlecht,
> das
> > würde [mm]\vec{x}=(x_1,x_2)^T[/mm] mit [mm]x_1=\IQ[/mm]
> > und [mm]x_2=\IR[/mm] bedeuten.
>
> Genau das meinte ich. Also eine verständliche Notation.
>
> > [mm]\vec{x} \in (\IQ,\IR)^T[/mm] würde man sicher eher verstehen.
>
> Zugegeben, besser.
aber das sind doch nun zwei vollkommen verschiedene Dinge:
[mm] $\vec{x} \in \vektor{\IQ\\\IR} :\iff \vec{x}^T \in \IQ \times \IR\$
[/mm]
bedeutet [mm] $x_1 \in \IQ$ [/mm] und [mm] $x_2 \in \IR\,,$ [/mm] aber wenn Du [mm] $\vec{x}=\vektor{\IQ\\\IR}$ [/mm] schreibst,
dann bedeutet dass, dass [mm] $x_1\red{\;=\;}\IQ$ [/mm] und [mm] $x_2\red{\;=\;}\IR$ [/mm] gemeint ist. Das Problem ist,
dass man bei der Paarnotation zwei Elemente [mm] $(x,y)=(s,t)\,$ [/mm] genau dann schreibt,
wenn [mm] $x=s\,$ [/mm] und [mm] $y=t\,$ [/mm] ist - bei Deiner Notation müsste aus dem
Zusammenhang klar sein, dass die Komponenten keine Mengen sein
dürfen.
(Es gibt sogar Definitionen wie [mm] $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$ [/mm] - damit kann man sofort
folgern $(x,y)=(s,t) [mm] \iff [/mm] x=s$ und [mm] $y=t\,$...)
[/mm]
Daher ja auch meine Nachfrage - und dann wird's
schon wieder unschön, weil man aus dem Zusammenhang heraus wissen
muss, was gemeint ist!
> > Aber es geht auch
> > relativ einfach, sofern [mm]\vec{x}[/mm] bei Dir ein
> > (zweikomponentiger) Spaltenvektor ist:
> > [mm]\vec{x}^T \in \IQ \times \IR\,.[/mm]
>
> Etwa so gut wie die letzte Variante, finde ich.
>
> > Noch einfacher:
> > [mm]\vec{x}=(x_1,x_2)^T[/mm] mit [mm]x_1 \in \IQ[/mm] und [mm]x_2 \in \IR\,.[/mm]
>
> >
> > Aufwändig, aber gerade für Schüler sicher die
> > verständlichste Notation!
>
> Ja, und damit zu bevorzugen. Keep things simple. Für eine
> solche Notation ziehe ich meinen Vorschlag gern zurück.
> Aber genau das ist der Punkt: Fachleute sollten
> beratschlagen, was hier die beste Lösung ist - und sie
> wenn möglich normieren. Es würde viel Raterei ersparen.
In einer (mathematischen oder wissenschaftlichen) (Fach-)Literatur sollte
man immer die "problematischen" Notationen erläutern. Aber Du hast recht,
es wäre schön, wenn es da eine Sammlung gäbe (vielleicht gibt es die, und
ich kenne sie nur nicht).
Z.B. sind Funktionen auf dem [mm] $L^2$ [/mm] eigentlich nicht direkt Funktionen,
sondern man rechnet dort mit Äquivalenzklassen. Die Repräsentanten
sind [mm] $\mathcal{L}^2$-Funktionen [/mm] etc. pp. Das habe ich in meiner Diplomarbeit
so ausführlich am Anfang ge- bzw. beschrieben, dass mein Prof. es unbedingt
kürzer haben wollte.
Und da gibt es noch ganz andere "Fallen":
[mm] $\bigcup_{M \in \mathfrak{F}}M$ [/mm] ist klar für eine Familie [mm] $\mathfrak{F}$ [/mm] von Mengen,
man findet aber auch diese Notation
[mm] $\bigcup \{M:\;\; M \in \mathfrak{F}\}$ [/mm]
in gleicher Bedeutung, obwohl die Symbolik so eigentlich rein nichtssagend
ist. Den Standpunkt zu vertreten, dass das doch nur lesbar sei als
[mm] $\bigcup \{M:\;\; M \in \mathfrak{F}\}=\{m: \exists M \in \mathfrak{F}: m \in M\}\,,$
[/mm]
macht keinen Sinn. Das letzte [mm] $=\,$ [/mm] sollte ein "definierendes =" sein, dann ist
das in Ordnung!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Di 04.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Abend :)
>
> Ich hab eine Frage, auf der ich eine Antwort suche.
> Es sind zwei Punkte A(x,y) und B(r,s) gegeben-
> Unter welchen 3 Bedingungen an x,r bestimmen A und B und
> der Urspung
> ein eindeutiges Polynom 3.Grades?
auch mal ergänzend, nur, weil Du die Frage im Forum Determinanten
postest:
Wir haben die folgende Gleichung hier gegeben
[mm] $$\pmat{1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & r & r^2 & r^3 \\ 1 & 0 & 0^2 & 0^3}\cdot \vektor{d\\c\\b\\a}=\vektor{y\\s\\0}\,.$$
[/mm]
Hier geht's doch sicher um die ![[]](/images/popup.gif) Vandermonde-Matrix, und oben siehst Du,
dass die Matrix nicht quadratisch ist, also nicht die passende Form hat.
Also irgendwas fehlt hier noch!
Gruß,
Marcel
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