eindeutige Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 27.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Jedes der Anfangswertprobleme [mm] y'=\sin(ty),y(t_0)=y_0 [/mm] besitzt eine eindeutige Lösung auf ganz [mm] \IR. [/mm] |
Tipp vom Tutor :
"Man sollte mit dem Satz von Picard-Lindelöf arbeiten und via Mittelwertsatz zeigen, dass eine (lokale) Lipschitzbedingung erfüllt ist. Danach muss man die eindeutige lokale Lösbarkeit noch auf ganz [mm] \IR [/mm] fortsetzen."
Puh, das klingt schwer. Gleich mal vorweg: Ich bin absoluter Laie in Analysis III und bin froh, wenn ich überhaupt mal eine richtige Idee habe, daher nicht wundern, wenn das Folgende eventuell totaler Nonsens ist.
Ich fange trotzdem einfach mal an mit dem, was ich mir gedacht habe:
1.) lokale Lipschitzbedingung bzgl. der zweiten Komponente zeigen :
[mm] ||f(t,y)-f(t,v)||=||\sin(ty)-\sin(tv)||=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)|| [/mm] (Mittelwertsatz, [mm] \zeta [/mm] zwischen ty und tv)
Weiter: [mm] \leq ||\zeta\cdot t(y-v)||=\zeta\cdot t||y-v|| [/mm].
Wähle [mm] L:=\zeta\cdot t [/mm].
Vielleicht ist so gezeigt, dass eine lokale Lipschitzbedingung gilt, keine Ahnung.
2.) Fortsetzung auf ganz [mm] \IR [/mm] :
Absolut keine Ahnung, wie das geht! Ich hätte einfach gesagt: Man kann ja jeden Startwert [mm] t_0 [/mm] nehmen und immer ist anscheinend (jedenfalls nach meiner Idee) eine lokale Lipschitzbedingung erfüllt. Kann man dann nicht die ganzen Intervalle einfach zu [mm] \IR [/mm] vereinen?
Ich denke dabei an folgenden Satz:
"Es sei [mm] G=I\times \IR^n [/mm] mit einem kompakten Invtervall I, [mm] f:G\to\IR^n [/mm] sei stetig und erfülle eine Lipschitzbedingung bzgl. der zweiten Komponente in G. Dann ist für jedes [mm] (t_0,y_0)\in [/mm] G das Anfangswertproblem [mm] y'=f(t,y) [/mm],[mm] y(t_0)=y_0 [/mm] auf ganz I eindeutig lösbar."
Das Intervall I ist für einen beliebigen Startwert [mm] t_0 [/mm] m.E. hier kompakt. Und wenn man alle I vereint, müsste ja ganz [mm] \IR [/mm] herauskommen, sodass die Lösbarkeit auf ganz [mm] \IR [/mm] gilt. Andererseits ist in dem Satz ja von keiner lokalen Lipschitzbedingung die Rede, sondern nur von Lipschitzbedingung, was wieder dagegen spricht, dass man diesen Satz nehmen kann....
Ach, das ist doch blöd...
Ich wäre echt dankbar für Hilfe. Bald ist schon die Klausur und ich weiß gar nicht, was das abgeben soll... vielleicht ist ja noch Schadensbegrenzung möglich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 27.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Wo sind die Analysis-Freunde? 
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Hi Dennis,
zeige, dass die Ableitung deiner DGL beschränkt ist.
Denn:
Ist $ f $ differenzierbar, so gilt nach dem MWS
$ [mm] \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} [/mm] = [mm] f'(\xi) \gdw [/mm] f(b) - f(a) = [mm] f'(\xi)(b-a) \Rightarrow [/mm] | f(b) - f(a) | = [mm] |f'(\xi)||(b-a)| [/mm] $
Gilt nun $ | [mm] f'(\xi) [/mm] | < L $ für ein $ L [mm] \in \IR [/mm] $, so ist
$ | f(b) - f(a) | = [mm] |f'(\xi)||(b-a)| \le [/mm] L|(b-a)| $
Du brauchst hier auch garnicht explizit eine Lipschitz-Konstante angeben.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $I_n:=[t_0-n,t_0+n]$ [/mm] und [mm] c_n [/mm] so, dass $|t| [mm] \le c_n$ [/mm] für t [mm] \in I_n [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Dann:
$ [mm] |f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot [/mm] t(y-v)| [mm] \le [/mm] |t| *|y-v| [mm] \le c_n*|t-v|$ [/mm] für t [mm] \in I_n [/mm] und y,v [mm] \in \IR
[/mm]
(Mittelwertsatz, $ [mm] \zeta [/mm] $ zwischen ty und tv)
Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm] I_n [/mm] eine eindeutig bestimmte Lösung [mm] y_n.
[/mm]
Nun zeige:
1. Ist m>n, so ist [mm] y_m= y_n [/mm] auf [mm] I_n
[/mm]
2. Definiert man [mm] $y:\IR \to \IR$ [/mm] durch
$y(x):= [mm] y_n(x)$, [/mm] fals x [mm] \in I_n,
[/mm]
so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte Lösung des AWPs auf [mm] \IR.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 28.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Dann:
>
>
> [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
>
> (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
>
Bios hierhin verstehe ich es.
> Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
Das sagt der Satz aus?
Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz hier anzuwenden bzw. wiederzuerkennen:
Was ist hier [mm] G=I\times \IR^n?
[/mm]
Ist f: [mm] G\to \IR^n [/mm] stetig und erfüllt eine Lipschitzbedingung?
>
> Nun zeige:
>
> 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
>
> 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
>
> [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
>
> so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
>
> FRED
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> > t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> >
> > Dann:
> >
> >
> > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
> >
> Bios hierhin verstehe ich es.
>
> > Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> > eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
> Das sagt der Satz aus?
> Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz hier anzuwenden
> bzw. wiederzuerkennen:
>
> Was ist hier [mm]G=I\times \IR^n?[/mm]
[mm]G=I_n\times \IR?[/mm]
> Ist f: [mm]G\to \IR^n[/mm] stetig
Klar. f(t,y)=sin(ty)
> und
> erfüllt eine Lipschitzbedingung?
Hab ich Dir doch oben vorgemacht:
$ [mm] |f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot [/mm] t(y-v)| [mm] \le [/mm] |t| [mm] \cdot{}|y-v| \le c_n\cdot{}|t-v| [/mm] $ für t $ [mm] \in I_n [/mm] $ und y,v $ [mm] \in \IR [/mm] $
FRED
>
> >
> > Nun zeige:
> >
> > 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> >
> > 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
> >
> > [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
> >
> > so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> > Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 28.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > > Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> > > t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> > >
> > > Dann:
> > >
> > >
> > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > >
> > > (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
> > >
> > Bios hierhin verstehe ich es.
> >
> > > Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> > > eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
> > Das sagt der Satz aus?
> > Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz hier
> anzuwenden
> > bzw. wiederzuerkennen:
> >
> > Was ist hier [mm]G=I\times \IR^n?[/mm]
>
>
> [mm]G=I_n\times \IR?[/mm]
Also man nimmt immer ein t aus [mm] I_n [/mm] und eine reelle Zahl und macht daraus ein Intervall?
>
>
> > Ist f: [mm]G\to \IR^n[/mm] stetig
>
>
> Klar. f(t,y)=sin(ty)
>
> > und
> > erfüllt eine Lipschitzbedingung?
>
> Hab ich Dir doch oben vorgemacht:
Aber da ging es doch um lokale Lipschitzbedingung und hier ja nicht - oder?
>
> [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| \cdot{}|y-v| \le c_n\cdot{}|t-v|[/mm]
> für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
>
>
> FRED
> >
> > >
> > > Nun zeige:
> > >
> > > 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> > >
> > > 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
> > >
> > > [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
> > >
> > > so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> > > Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> > > > t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> > > >
> > > > Dann:
> > > >
> > > >
> > > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> > > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > > >
> > > > (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
> > > >
> > > Bios hierhin verstehe ich es.
> > >
> > > > Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> > > > eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
> > > Das sagt der Satz aus?
> > > Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz hier
> > anzuwenden
> > > bzw. wiederzuerkennen:
> > >
> > > Was ist hier [mm]G=I\times \IR^n?[/mm]
> >
> >
> > [mm]G=I_n\times \IR?[/mm]
>
> Also man nimmt immer ein t aus [mm]I_n[/mm] und eine reelle Zahl und
> macht daraus ein Intervall?
Was ist los, von was sprichst Du ?
> >
> >
> > > Ist f: [mm]G\to \IR^n[/mm] stetig
> >
> >
> > Klar. f(t,y)=sin(ty)
> >
> > > und
> > > erfüllt eine Lipschitzbedingung?
> >
> > Hab ich Dir doch oben vorgemacht:
>
> Aber da ging es doch um lokale Lipschitzbedingung und hier
> ja nicht - oder?
Du selbst hast diesen Satz genannt:
"Es sei $ [mm] G=I\times \IR^n [/mm] $ mit einem kompakten Invtervall I, $ [mm] f:G\to\IR^n [/mm] $ sei stetig und erfülle eine Lipschitzbedingung bzgl. der zweiten Komponente in G. Dann ist für jedes $ [mm] (t_0,y_0)\in [/mm] $ G das Anfangswertproblem $ y'=f(t,y) $,$ [mm] y(t_0)=y_0 [/mm] $ auf ganz I eindeutig lösbar."
FRED
> >
> > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| \cdot{}|y-v| \le c_n\cdot{}|t-v|[/mm]
> > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> >
> >
> > FRED
> > >
> > > >
> > > > Nun zeige:
> > > >
> > > > 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> > > >
> > > > 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
> > > >
> > > > [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
> > > >
> > > > so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> > > > Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
> > > >
> > > > FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 28.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > > > > Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> > > > > t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> > > > >
> > > > > Dann:
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> > > > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > > > >
> > > > > (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
> > > > >
> > > > Bios hierhin verstehe ich es.
> > > >
> > > > > Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> > > > > eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
> > > > Das sagt der Satz aus?
> > > > Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz hier
> > > anzuwenden
> > > > bzw. wiederzuerkennen:
> > > >
> > > > Was ist hier [mm]G=I\times \IR^n?[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]G=I_n\times \IR?[/mm]
> >
> > Also man nimmt immer ein t aus [mm]I_n[/mm] und eine reelle Zahl und
> > macht daraus ein Intervall?
>
>
> Was ist los, von was sprichst Du ?
Mein Problem ist, dass ich mir unter [mm] I_n\times R^n [/mm] nichts vorstellen kann, es ist das kartesische Produkt, so viel weiß ich.
Und das bildet man doch, indem man ein Element aus [mm] I_n [/mm] und ein Element [mm] aus^R^n [/mm] nimmt - oder?
Also z.B. t aus [mm] I_n [/mm] und w aus [mm] R^n. [/mm] Dann hat man [t,w]?...
Also [mm] G=I_n\times \IR^n [/mm] ist der Definitionsbereich von f, aber was ist [mm] I_n\times \IR^n...
[/mm]
>
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> > >
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> > > > Ist f: [mm]G\to \IR^n[/mm] stetig
> > >
> > >
> > > Klar. f(t,y)=sin(ty)
> > >
> > > > und
> > > > erfüllt eine Lipschitzbedingung?
> > >
> > > Hab ich Dir doch oben vorgemacht:
> >
> > Aber da ging es doch um lokale Lipschitzbedingung und hier
> > ja nicht - oder?
>
>
> Du selbst hast diesen Satz genannt:
>
> "Es sei [mm]G=I\times \IR^n[/mm] mit einem kompakten Invtervall I,
> [mm]f:G\to\IR^n[/mm] sei stetig und erfülle eine Lipschitzbedingung
> bzgl. der zweiten Komponente in G. Dann ist für jedes
> [mm](t_0,y_0)\in[/mm] G das Anfangswertproblem [mm]y'=f(t,y) [/mm],[mm] y(t_0)=y_0[/mm]
> auf ganz I eindeutig lösbar."
Was mich verwirrt ist: Oben hast Du ja lokale Lipschitzbedingung gezeigt, in dem Satz steht aber nicht lokale Lipschitzbedingung sondern nur Lipschitzbedingung. Wieso kannst Du diesen Satz dann anwenden?
>
>
> FRED
>
>
> > >
> > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| \cdot{}|y-v| \le c_n\cdot{}|t-v|[/mm]
> > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > >
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > >
> > > > > Nun zeige:
> > > > >
> > > > > 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> > > > >
> > > > > 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
> > > > >
> > > > > [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
> > > > >
> > > > > so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> > > > > Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> > > > > > t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Dann:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> > > > > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > > > > >
> > > > > > (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
> > > > > >
> > > > > Bios hierhin verstehe ich es.
> > > > >
> > > > > > Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> > > > > > eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
> > > > > Das sagt der Satz aus?
> > > > > Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz
> hier
> > > > anzuwenden
> > > > > bzw. wiederzuerkennen:
> > > > >
> > > > > Was ist hier [mm]G=I\times \IR^n?[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > [mm]G=I_n\times \IR?[/mm]
> > >
> > > Also man nimmt immer ein t aus [mm]I_n[/mm] und eine reelle Zahl und
> > > macht daraus ein Intervall?
> >
> >
> > Was ist los, von was sprichst Du ?
>
> Mein Problem ist, dass ich mir unter [mm]I_n\times R^n[/mm] nichts
> vorstellen kann, es ist das kartesische Produkt, so viel
> weiß ich.
So ist es.
>
> Und das bildet man doch, indem man ein Element aus [mm]I_n[/mm] und
> ein Element [mm]aus^R^n[/mm] nimmt - oder?
Ja.
>
> Also z.B. t aus [mm]I_n[/mm] und w aus [mm]R^n.[/mm] Dann hat man [t,w]?...
Ja, man hat (t,w)
>
> Also [mm]G=I_n\times \IR^n[/mm] ist der Definitionsbereich von f,
Nein, es ist [mm]G=I_n\times \IR[/mm]
> aber was ist [mm]I_n\times \IR^n...[/mm]
...... haä , das hatten wir doch oben schon ?
>
>
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > > Ist f: [mm]G\to \IR^n[/mm] stetig
> > > >
> > > >
> > > > Klar. f(t,y)=sin(ty)
> > > >
> > > > > und
> > > > > erfüllt eine Lipschitzbedingung?
> > > >
> > > > Hab ich Dir doch oben vorgemacht:
> > >
> > > Aber da ging es doch um lokale Lipschitzbedingung und hier
> > > ja nicht - oder?
> >
> >
> > Du selbst hast diesen Satz genannt:
> >
> > "Es sei [mm]G=I\times \IR^n[/mm] mit einem kompakten Invtervall I,
> > [mm]f:G\to\IR^n[/mm] sei stetig und erfülle eine Lipschitzbedingung
> > bzgl. der zweiten Komponente in G. Dann ist für jedes
> > [mm](t_0,y_0)\in[/mm] G das Anfangswertproblem [mm]y'=f(t,y) [/mm],[mm] y(t_0)=y_0[/mm]
> > auf ganz I eindeutig lösbar."
>
> Was mich verwirrt ist: Oben hast Du ja lokale
> Lipschitzbedingung gezeigt,
Nein.
Ich habe gezeigt: f genügt auf [mm] I_n \times \IR [/mm] eine (globalen) Lipschitzbed. bezüglich y.
FRED
> in dem Satz steht aber nicht
> lokale Lipschitzbedingung sondern nur Lipschitzbedingung.
> Wieso kannst Du diesen Satz dann anwenden?
> >
> >
> > FRED
> >
> >
> > > >
> > > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| \cdot{}|y-v| \le c_n\cdot{}|t-v|[/mm]
> > > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Nun zeige:
> > > > > >
> > > > > > 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> > > > > >
> > > > > > 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
> > > > > >
> > > > > > [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> > > > > > Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
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> >
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 Mo 28.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > > > > > > Sei [mm]I_n:=[t_0-n,t_0+n][/mm] und [mm]c_n[/mm] so, dass [mm]|t| \le c_n[/mm] für
> > > > > > > t [mm]\in I_n[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Dann:
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| *|y-v| \le c_n*|t-v|[/mm]
> > > > > > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > > > > >
> >
> > > > > > > (Mittelwertsatz, [mm]\zeta[/mm] zwischen ty und tv)
> > > > > > >
> > > > > > Bios hierhin verstehe ich es.
> > > > > >
> > > > > > > Nach dem von Dir zitierten Satz hat das AWP auf [mm]I_n[/mm] eine
> > > > > > > eindeutig bestimmte Lösung [mm]y_n.[/mm]
> > > > > > Das sagt der Satz aus?
> > > > > > Ich habe irgendwie Probleme damit den Satz
> > hier
> > > > > anzuwenden
> > > > > > bzw. wiederzuerkennen:
> > > > > >
> > > > > > Was ist hier [mm]G=I\times \IR^n?[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]G=I_n\times \IR?[/mm]
> > > >
> > > > Also man nimmt immer ein t aus [mm]I_n[/mm] und eine reelle Zahl und
> > > > macht daraus ein Intervall?
> > >
> > >
> > > Was ist los, von was sprichst Du ?
> >
> > Mein Problem ist, dass ich mir unter [mm]I_n\times R^n[/mm] nichts
> > vorstellen kann, es ist das kartesische Produkt, so viel
> > weiß ich.
>
> So ist es.
>
> >
> > Und das bildet man doch, indem man ein Element aus [mm]I_n[/mm] und
> > ein Element [mm]aus^R^n[/mm] nimmt - oder?
>
> Ja.
> >
> > Also z.B. t aus [mm]I_n[/mm] und w aus [mm]R^n.[/mm] Dann hat man [t,w]?...
>
> Ja, man hat (t,w)
> >
> > Also [mm]G=I_n\times \IR^n[/mm] ist der Definitionsbereich von f,
>
> Nein, es ist [mm]G=I_n\times \IR[/mm]
>
>
> > aber was ist [mm]I_n\times \IR^n...[/mm]
>
>
> ...... haä , das hatten wir doch oben schon ?
>
>
> >
> >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Ist f: [mm]G\to \IR^n[/mm] stetig
> > > > >
> > > > >
> > > > > Klar. f(t,y)=sin(ty)
> > > > >
> > > > > > und
> > > > > > erfüllt eine Lipschitzbedingung?
> > > > >
> > > > > Hab ich Dir doch oben vorgemacht:
> > > >
> > > > Aber da ging es doch um lokale Lipschitzbedingung und hier
> > > > ja nicht - oder?
> > >
> > >
> > > Du selbst hast diesen Satz genannt:
> > >
> > > "Es sei [mm]G=I\times \IR^n[/mm] mit einem kompakten Invtervall I,
> > > [mm]f:G\to\IR^n[/mm] sei stetig und erfülle eine Lipschitzbedingung
> > > bzgl. der zweiten Komponente in G. Dann ist für jedes
> > > [mm](t_0,y_0)\in[/mm] G das Anfangswertproblem [mm]y'=f(t,y) [/mm],[mm] y(t_0)=y_0[/mm]
> > > auf ganz I eindeutig lösbar."
> >
> > Was mich verwirrt ist: Oben hast Du ja lokale
> > Lipschitzbedingung gezeigt,
>
>
>
> Nein.
>
> Ich habe gezeigt: f genügt auf [mm]I_n \times \IR[/mm] eine
> (globalen) Lipschitzbed. bezüglich y.
Oh, ich habe das als lokale Lipschitzbedingung bzgl. y gelesen.
Also Du startest doch mit einer Umgebung um ein [mm] t_0.
[/mm]
Am Ende kommt raus: [mm] ...\leq c_n\cdot [/mm] |t-v|
[mm] c_n [/mm] ist die Lipschitzkonstante.
Und dass es global ist - erkennt man jetzt daran, dass man das t irgendwie wählen kann (es nicht lokal begrenzt auszuwählen ist)?
>
>
> FRED
>
>
> > in dem Satz steht aber nicht
> > lokale Lipschitzbedingung sondern nur Lipschitzbedingung.
> > Wieso kannst Du diesen Satz dann anwenden?
> > >
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > [mm]|f(t,y)-f(t,v)|=|\sin(ty)-\sin(tv)|=||cos(\zeta)\cdot t(y-v)| \le |t| \cdot{}|y-v| \le c_n\cdot{}|t-v|[/mm]
> > > > > für t [mm]\in I_n[/mm] und y,v [mm]\in \IR[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Nun zeige:
> > > > > > >
> > > > > > > 1. Ist m>n, so ist [mm]y_m= y_n[/mm] auf [mm]I_n[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > 2. Definiert man [mm]y:\IR \to \IR[/mm] durch
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]y(x):= y_n(x)[/mm], fals x [mm]\in I_n,[/mm]
> > > > > >
> >
> > > > > > > so ist y wohldefiniert,und y ist die eindeutig bestimmte
> > > > > > > Lösung des AWPs auf [mm]\IR.[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > FRED
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
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> > > >
> > >
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 02.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Fr 26.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, ich habe nun verstanden, daß mit alledem bis jetzt gezeigt wurde, daß es auf einem Intervall
[mm] [t_0-n,t_0+n] [/mm] eine eindeutige Lösung für das AWP gibt.
Nun muss noch gezeigt werden, daß das AWP eine eindeutige Lösung auf ganz [mm] \mathbb [/mm] R besitzt.
Die Idee von fred97 war - glaube ich - daß man die einzelnen Lösungen auf den einzelnen Intervallen sozusagen "zusammenpuzzelt" und dann eine eindeutige Lösung auf ganz [mm] \mathbb [/mm] R erreicht, soll heißen:
Hat man ein Intervall [mm] I_m [/mm] mit [mm] I_n\subset I_m [/mm] und ist w die eindeutige Lösung auf [mm] I_m [/mm] so gilt [mm] w|_{I_n}=y, [/mm] wenn y die eindeutige Lösung auf dem Intervall [mm] I_n [/mm] bezeichnet.
Ich weiß aber nicht genau, was man jetzt eigentlich noch zeigen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Sa 27.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag dennis2
fred hat dir ganz am Anfang gesagt, wie du nun vorgehen musst. Bildlich gesprochen hast du das, denke ich, richtig verstanden. Allerdings musst du noch zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] m>n [/mm] und sei [mm] y_m [/mm] auf [mm] I_m [/mm] eine Lösung und [mm] y_n [/mm] auf [mm] I_n [/mm] eine Lösung, dass dann folgendes gilt: [mm] y_m_{|I_n} = y_n [/mm], dass also deine Lösung auf ganz [mm] \IR [/mm] wohldefiniert ist.
Liebe Grüsse
f12
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Sa 27.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, dass ich das zeigen muss, hat fred97 ja auch schon beschrieben; ich frage ja aber nach, weil ich eben gerade nicht weiß, wie ich das zeigen kann....
Wie kann man denn das zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 27.08.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo dennis2
Meine Antwort bezog sich auf deinen letzten Satz im vorletzten Post:
> Ich weiß aber nicht genau, was man jetzt eigentlich noch zeigen muss?
>
Von einem Wie war da keine Rede.
Nun gut, der Beweis ist nicht schwer. Du nimmst ein $\ x [mm] \in I_n [/mm] $ und zeigst, dass $\ [mm] y_n(x) [/mm] = [mm] y_m(x) [/mm] $ ist.
Da $\ x $ allgemein gewählt wurde gilt dies für alle $\ x [mm] \in I_n [/mm] $. Für den Beweis musst du eigentlich nur mündlich argumentieren.
Liebe Grüsse
f12
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Sa 27.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich nehme also ein x her.
Und muss jetzt zeigen, dass [mm] y_n(x)=y_m(x)?
[/mm]
Also wenn m>n, so liegt ja x in [mm] I_n [/mm] und [mm] I_m
[/mm]
Ist das so gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 27.08.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo dennis2
Genau, du weisst also, dass dein $\ x [mm] \in I_n \subset I_m [/mm] $ für $\ m > n $. Nun kannst du den von dir genannten Satz wieder anwenden um zu zeigen, dass $\ [mm] y_n(x) [/mm] = [mm] y_m(x) \forall [/mm] x [mm] \in I_n [/mm] $ sein muss.
Liebe Grüsse
f12
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 27.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Achja, denn auf [mm] I_m [/mm] gibt es ja nach Picard-Lindelöf auch wieder nur eine eindeutige Lösung und deswegen muss für die x, die in [mm] I_n [/mm] liegen gelten [mm] y_n(x)=y_m(x).
[/mm]
Deswegen hätte man also bei der Definition vom y ebenso definieren können:
[mm] y(x):=y_m(x) [/mm]
Das heißt, die Definition hing nicht ab von n.
So wirds hoffentlich stimmen.
Besten Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Sa 27.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag dennis2
Man definiert
[mm] y(x) := y_n(x) \text{ für } x \in I_n [/mm]
und kriegt so eine Lösung auf ganz $\ [mm] \IR [/mm] $ die wohldefiniert ist.
Liebe Grüsse
f12
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Sa 27.08.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, und mit der obigen Begründung ist doch dann gezeigt, dass diese Definition nicht von dem speziellen n abhängt, also wohldefiniert ist.
So war das doch gemeint.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 27.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag dennis2
Also eine Rolle spielt das $\ n $ insofern, dass es genügend gross sein muss. Wenn du an der Lösung in einem Punkt interessiert bist, muss es in einem Intervall $\ [mm] I_n [/mm] $ liegen für $\ n $ gross genug. Allerdings spielt es, nach dem du die Wohldefiniertheit gezeigt hast, keine Rolle ob du die Lösung von $\ [mm] I_{n},I_{n+1},I_{n+2} [/mm] $ etc nimmst, da diese alle gleich sind.
Liebe Grüsse
f12
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Ich habe eine Schar von Lösungskurven berechnen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Am Bild ist (trotz des kleinen abgebildeten Ausschnitts)
zu erkennen, dass die Kurven dazu tendieren,
für [mm] |x|\to\infty [/mm] sich zusammenzubündeln zu Kurven einer
die Ebene nicht dicht bedeckenden Hyperbelschar.
Für die vorliegende Aufgabe entnehme ich daraus, dass
es trotz der Eindeutigkeit der Lösungskurve durch jeden
beliebigen Ebenenpunkt z.B. extrem schwierig bzw. praktisch
unmöglich sein würde, diese Lösungskurve exakt bzw.
numerisch mit akzeptabler Genauigkeit zu berechnen, falls
der Startpunkt mit nicht zu kleinem |x| sehr nahe bei einer
dieser "Limeskurven" liegt.
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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