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| Aufgabe | Matrix A= [mm] \pmat{ 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 }
[/mm]
1. spektrum berechnen
2. eigenvektorraum zu jedem eigenwert bestimmen |
hallo ihr lieben,
ich bin mitten in der nacht am verzweifeln an dieser aufgabe...
ich habe jetzt die eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] 1,\lambda_{2} [/mm] = 1, [mm] \lambda_{3} [/mm] = 3 ausgerechnet. müssten eigentlich richtig sein.
jetzt hab ich versucht für [mm] \lambda_{1} [/mm] den eigenvektor zu bestimmen, und hab ein problem undzwar sieht mein [mm] (A-\lambda_{1}*E)*x=0
[/mm]
so aus
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] = 0
so jetzt komme ich nicht weiter und kann meine x,y,z werte nicht weiterberechnen weil die 2.zeile null ist.
und wenn ich mit gauss elimination versuche klappt es auch nicht um auf meine werte zu kommen.
was spektrum wirklich bedeutet,und wie ich es berechnen soll,dazu fällt mir auch nicht viel ein.
und was ein eigenvektor ist ,ist mir klar aber was ist mit eigenvektorRAUM gemeint.???
hoffe mir kann jemand behilflich sein, danke schon mal im vorraus.
Viel LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:30 So 14.10.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo!
also du bist aufm richtigen weg:
die eigenwerte sind richtig.
nehmen wir eigenwert1=1 :
[mm] \pmat{1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 }
[/mm]
durch zeilenumformungen (zeile2 mit zeile3 vertauscht und danach zeile2=zeile2+zeile1) kommen wir auf:
[mm] \pmat{1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 } \rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{1 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0} \rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Hier haben wir 2 freie variablen (weil wir kein Pivotelement haben) also die zweite und die dritte, also y und z sind frei
Die einzige gebundene variable ist x, und ihre verbindung zu den anderen variablen können wir aus der matrix lesen:
[mm]x-2y-z=0 \rightarrow x=2y+z[/mm]
da können wir beliebig werte für die freien variablen einsetzen, nehmen wir y=1, z=0, da bekommen wir x=2
Da wir zwei freie variablen haben, werden wir 2 spalten in der lösung haben. Unsere lösung wird also dimension 2 haben (also eine Ebene)
dann müssen wir noch mal werte bei den freien variablen einsetzen: also nehmen wir y=0,z=1, und bekommen x=1
unsere zwei vektoren sehen so aus:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1} [/mm]
Das schöne ist, alle anderen lösungen werden linearkombinationen dieser speziallösungen sein, also wir können eine allgemeine lösung so darstellen:
[mm] \alpha\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\beta\vektor{1 \\ 0\\ 1},\alpha{},\beta\in\IR\backslash\{0\} [/mm] (das gilt weil unsere eigenvektoren per definition ungleich 0 sind, sonst wäre [mm] \alpha{},\beta\in\IR [/mm] für ein "normales" system
Also kannst du hier beliebig werte für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] einsetzen und du bekommst immer lösungen.
Warum das eigenraum heisst? ein eigenraum ist der vektorraum, der durch die eigenvektoren aufgespannt ist.
In diesem fall ist es eine ebene, weil wir 2 spalten haben.
ich hoffe das war verständlich :)
ich weiss nicht was du mit "spektrum" meinst, vielleicht postest du bitte deine definition da :)
Viele Grüße
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vielen dank für die ausführiche antwort.
ich hätte noch eine frage,
du hast [mm] \alpha [/mm] * eigenvektor1 + [mm] \beta [/mm] * eingevektor2 hingeschrieben,
wäre jetzt mein gesamter eingenvektorraum für meine ganzen eigenvektoren
[mm] \alpha [/mm] * eigenvektor1 + [mm] \beta [/mm] * eingevektor2 + [mm] \gamma [/mm] eigenvektor3
???
oder wieso addierst du die beiden eigenvektoren1 und 2?
für [mm] \lambda_{3} [/mm] hab ich [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
raus. wäre dann mein eigenvektorraum wie oben beschrieben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 14.10.2007 | | Autor: | Blech |
> vielen dank für die ausführiche antwort.
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> ich hätte noch eine frage,
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> du hast [mm]\alpha[/mm] * eigenvektor1 + [mm]\beta[/mm] * eingevektor2
> hingeschrieben,
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> wäre jetzt mein gesamter eingenvektorraum für meine ganzen
> eigenvektoren
>
> [mm]\alpha[/mm] * eigenvektor1 + [mm]\beta[/mm] * eingevektor2 + [mm]\gamma[/mm]
> eigenvektor3
>
> ???
Nein, der Eigenraum ist immer zu einem best. Eigenwert. Mit [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] EVen zum Eigenwert [mm] $\lambda_1=1$ [/mm] gilt nämlich:
[mm] $A*(\alpha*v_1+\beta*v_2)=\alpha*A*v_1+\beta*A*v_2=\alpha*\lambda_1*v_1+\beta*\lambda_1*v_2=\lambda_1*(\alpha*v_1+\beta*v_2)$
[/mm]
d.h. [mm] $\alpha*v_1+\beta*v_2$ [/mm] ist ein EV.
Für einen EV zum Eigenwert 3 gilt das natürlich nicht, weil man zum Schluß nicht [mm] $\lambda_1$ [/mm] ausklammern könnte.
> für [mm]\lambda_{3}[/mm] hab ich [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> raus. wäre dann mein eigenvektorraum wie oben beschrieben?
Ebenso bestünde der Eigenraum zum EW 3 aus [mm] $\gamma*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}\ \gamma\in\IR\backslash\{0\}$
[/mm]
Gleiche Begründung. Ein Vielfaches des EV ist wieder ein EV.
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hallo blech,
danke für die antwort :).
LG
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