eigenvektor verständnisfrage < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | 2 0 1
0 3 1
0 6 2
Berechnen sie die eigenvektoren |
So hier habe ich eine frage zum Eigenvektor für den EW 5
2 0 1
0 3 1
0 6 2
Die matrizze wäre wenn 5* Einheitsmatrizze von der matrix abgezogen ist:
-3 0 1
0 -2 1
0 6 -3
Hier habe ich eine Verständnisfrage zu den EV.
Und war ist, wenn ich das in ein Gleichungssystem Umwandle
-3*x1 + x3 = 0
-2*x2 + x3 = 0
d.H x3 = 3*x1
und x3 = 2*x2
Wieso ist der Eigenvektor jetzt nicht [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
?
Mein TR gibt mir ein anderes Ergebniss....
Und wann muss ich den Eigenvektor in mehrere "Vektoren" aufschrieben ? Bei mehreren identischen Eigenwerten, oder ? Danke im Vorraus
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Hallo Yuumura,
> 2 0 1
> 0 3 1
> 0 6 2
>
> Berechnen sie die eigenvektoren
> So hier habe ich eine frage zum Eigenvektor für den EW 5
>
> 2 0 1
> 0 3 1
> 0 6 2
>
> Die matrizze wäre wenn 5* Einheitsmatrizze von der matrix
> abgezogen ist:
>
> -3 0 1
> 0 -2 1
> 0 6 -3
>
> Hier habe ich eine Verständnisfrage zu den EV.
>
> Und war ist, wenn ich das in ein Gleichungssystem Umwandle
> -3*x1 + x3 = 0
> -2*x2 + x3 = 0
>
> d.H x3 = 3*x1
> und x3 = 2*x2
>
> Wieso ist der Eigenvektor jetzt nicht [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm]
> = [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> ?
Weil die vorstehenden zwei Gleichungen nicht erfüllt sind:
[mm] 1 \not= 3*3, \ 1 \not= 2*2[/mm]
> Mein TR gibt mir ein anderes Ergebniss....
>
>
> Und wann muss ich den Eigenvektor in mehrere "Vektoren"
> aufschrieben ? Bei mehreren identischen Eigenwerten, oder ?
Nun, wenn der Lösungsraum zu
diesem Eigenwert mehrdimensional (>1) ist.
> Danke im Vorraus
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Und wie rechne ich das jetzt aus ?
Das gleichungssystem kann ich ja nicht einfach so lösen..
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> Und wie rechne ich das jetzt aus ?
>
> Das gleichungssystem kann ich ja nicht einfach so lösen..
Nun ja, für das Gleichungssystem
[mm] \begin{cases}\ x_3=3*x_1 \\ \ x_3=2*x_2 \end{cases}
[/mm]
wirst du ja hoffentlich z.B. eine Lösung
mit ganzzahligen Werten für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3
[/mm]
finden können. Vielleicht ist dein Problem
ja nur, dass es kein eindeutiges Lösungs-
tripel, sondern unendlich viele gibt ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ja wie mache ich das bitte mit unendlich vielen Lösungen...
Ich muss das für die KLausur wissen dort muss ich alles mathematisch korrekt ausdrücken :(
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> Ja wie mache ich das bitte mit unendlich vielen
> Lösungen...
>
> Ich muss das für die KLausur wissen dort muss ich alles
> mathematisch korrekt ausdrücken :(
Hallo Yuumura,
Wenn [mm] \vec{v} [/mm] ein Eigenvektor ist, so ist jedes
Vielfache von [mm] \vec{v} [/mm] ebenfalls ein Eigenvektor.
Deshalb kannst du eine der Komponenten von
[mm] \vec{v} [/mm] beliebig wählen. Empfehlenswert ist dann,
durch eine geeignete Streckung die Komponenten
ganzzahlig zu machen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Die komponenten des Vektors müssen doch ein bestimmtes verhältnis haben wie kann ich da eins frei wählen ? ich kann doch da nich einfach 34534 hinschreiben und bei den andern 2 komponenten "den echten" wert ?
Kannst du mir das vielleicht an dem Beispiel vormachen (so schön ausführlich wie dus beschrieben hast) ?
Das wär super lieb :D
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> Die komponenten des Vektors müssen doch ein bestimmtes
> verhältnis haben wie kann ich da eins frei wählen ? ich
> kann doch da nich einfach 34534 hinschreiben und bei den
> andern 2 komponenten "den echten" wert ?
>
> Kannst du mir das vielleicht an dem Beispiel vormachen (so
> schön ausführlich wie dus beschrieben hast) ?
>
> Das wär super lieb :D
Naja, wenn du magst: setze [mm] x_1:=34534
[/mm]
Dann wird [mm] x_3=3*x_1=3*34534=103602
[/mm]
und [mm] x_2=x_3/2=51801
[/mm]
Damit hast du einen möglichen Eigenvektor
der durch die Matrix beschriebenen Abbildung
zum Eigenwert 5, nämlich
[mm] \vec{e}=\vektor{34534\\51801\\103602}
[/mm]
Es wäre aber auch mit kleineren Zahlen möglich
gewesen, z.B.
[mm] \vec{e}=\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
Rechne doch mal nach, ob dieser Vektor
durch die Multiplikation mit der Matrix
wirklich auf sein Fünffaches abgebildet wird !
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ok danke das habe ich verstanden !
Nur noch eine frage zum wählbaren Parameter
hier
02 x1
03 x2
bzw 0*x1 + 2*x2 = 0
0*x1 + 3*x2 = 0
Kommt x1 garnicht vor, d.h 0 und x2 ist der wählbare parameter oder ?
Also wäre der EV 0 für x1 und 1 für x2 z.B ?
Aber wenn ich jetzt sowas habe wie
1 0 -1
0 2 0
0 0 0
Wie geh ich dann vor ?
x1 wäre = x3
also schon mal x1 = 1 und x3 = 1
und x2 ?
Wäre das schon wieder ein wählbarer parameter ??
Weil in der Lösung steht [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich kann doch den wählbaren Parameter nicht 0 setzen ??
Was würde denn passieren wenn ich 1 einsetze ? hätte ich dann 2 1 2 ??
Danke im Vorraus.
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> Nur noch eine frage zum wählbaren Parameter
>
> hier
> 02 x1
> 03 x2
>
> bzw 0*x1 + 2*x2 = 0
> 0*x1 + 3*x2 = 0
Hallo,
bitte mach Dir in Zukunft die Mühe, Indizes zu setzen. (Unterstrich und dann die Ziffer. Für größere Indizes: Unterstrich und dann den Index in geschweifte Klammern.)
>
> Kommt x1 garnicht vor, d.h 0
Oh nein!
Da [mm] x_1 [/mm] immer mit 0 multipliziert wird, ist es völlig egal, was man für [mm] x_1 [/mm] einsetzt, die Gleichung kann nicht falsch werden.
Also ist [mm] x_1 [/mm] beliebig.
> und x2 ist der wählbare
> parameter oder ?
Nein, Du hast doch überhaupt keine Auswahl, denn
> 0*x1 + 3*x2 = 0
<==> [mm] x_2=0.
[/mm]
> Also wäre der EV 0 für x1 und 1 für x2 z.B ?
Nein.
Du hast
0 2
0 3
--> Zeilenstufenform
0 1
0 0
-->
[mm] x_2=0, x_1 [/mm] beliebig,
also haben die Eigenvektoren die Gestalt
[mm] \vektor{t\\0}=t\vektor{1\\0}, [/mm] dh. es ist u.a. [mm] \vektor{1\\0} [/mm] ein Eigenvektor zum gerade betrachteten Eigenwert.
>
>
> Aber wenn ich jetzt sowas habe wie
> 1 0 -1
> 0 2 0
> 0 0 0
>
> Wie geh ich dann vor ?
> x1 wäre = x3
> also schon mal x1 = 1 und x3 = 1
>
> und x2 ?
[mm] x_2 [/mm] =0
Frei wählen kannst Du [mm] x_3. [/mm] (in der 3. Spalte gibt's kein führendes Zeilenelement.)
Du bekommst
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_1=x_3=t.
[/mm]
Also haben die Eigenvektoren die gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{t\\0\\t}=t\vektor{1\\0\\1}, [/mm] und somit ist u.a. [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] ein Eigenvektor zum gerade betrachteten Eigenwert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ich versteh deine Begründung nicht.
In der 3ten Spalte steht (-1 0 [mm] 0)^T
[/mm]
Was bedeutet führendes Zeilenelement ? Wenn ich das bei Google eingebe kommen nur deine Beiträge vom Matheraum, weil sonst wohl niemand diesen Begriff benutzt ^^
edit: eine letzte frage : Spielt die reihenfolge der Vorzeichen eine Rolle ?
z.B habe ich hier x2 = -3*x1
Ist der EV nun [mm] \vektor{-1 \\ 3} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ -3} [/mm] oder spielt es keine rolle ?
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> Ich versteh deine Begründung nicht.
>
> In der 3ten Spalte steht (-1 0 [mm]0)^T[/mm]
>
> Was bedeutet führendes Zeilenelement
Hallo,
vielleicht verwendet Ihr dafür "Pivotelement", in meiner Vorlesung hieß es "Führer". Aber das ist ja nicht so angesagt.
Gemeint ist in der Zeilenstufenform das erste von Null verschiedene Element der Zeilen.
[mm] >\red{1} [/mm] 0 -1
> 0 [mm] \red{2} [/mm] 0
> 0 0 0
Ich habe sie hier rot angemalt, und in der dritten Spalte gibt's eben kein Pivotelement.
> edit: eine letzte frage : Spielt die reihenfolge der
> Vorzeichen eine Rolle ?
>
> z.B habe ich hier x2 = -3*x1
>
> Ist der EV nun [mm]\vektor{-1 \\ 3}[/mm] oder [mm]\vektor{1 \\ -3}[/mm] oder
> spielt es keine rolle
Das ist egal, beides sind Eigenvektoren.
Es gibt niemals "den" Eigenvektor. Wenn man einen Eigenvektor hat, ist jedes von Null verschiedene Vielfache auch einer.
Wenn Du 2 linear unabhängige Eigenvektoren zum selben Eigenwert hast, ist jede von Null verschiedene Linearkombination der beiden wieder einer.
Wenn Du mehr linear unabhängige Eigenvektoren zum selben Eigenwert hast, gilt das ebenso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ah cool danke..
aber ich hab leider schon wieder eine Stelle die ich nicht begreife, :(
Ich habe
-1 0 -1
0 0 0
0 0 0
Das ist die matrix, nachdem ich den zweifachen eigenwert 1 abgezogen habe...
Es gibt garkein führendes Zeilen element, x1 = x3....
Theoretisch ist alles beliebig ?
Ich hätte jetzt auf die Lösung [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
getippt und da es sich um eine doppelte 0 stelle handelt es als
-1
0
0
und
0
0
1
beschrieben in abhängigkeit von alpha und beta , halt 2 reelle zahlen...
Aber die Lösung soll [mm] \vektor{0\\ 1\\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
(in abhängigkeit von alpha und beta)
sein.
Wieso ? :(
edit: ich glaube ich verstehe. Die 2te Zahl x2 ist auch beliebig, sie wäre nur wenn da eine zahl in der zweiten zeile stehen würde für x2 und dann =0... aber weil da nix steht ist sie so beliebig wie x3.... deswegen schreibt man für beides eine 1 hin, und für x1 noch ein -1 weil das halt in der Gleichung in der ersten Zeile so ist ^^
Halbwegs richtig ?
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> Ah cool danke..
> aber ich hab leider schon wieder eine Stelle die ich nicht
> begreife, :(
Hallo,
ich habe gesehen, daß Du unten der Sache auf die Spur gekommen bist.
Ich antworte jetzt trotzdem mal in der Sprache meiner vorhergehenden Antwort.
Ich kennzeichne die führenden Zeilenelemente:
>
> Ich habe
> [mm] \red{ -1} [/mm] 0 -1
> 0 0 0
> 0 0 0
In Spalte 2 und 3. gibt es kein führendes Zeilenelement.
Also kann ich [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] beliebig wählen, etwa
[mm] x_2:=s [/mm] und
[mm] x_3=t. [/mm] daraus ergibt sich
[mm] x_1=-x_3=-t,
[/mm]
und ich erhalte, daß die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 die Gestalt haben [mm] vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-t\\s\\t}=s*\vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1\\0\\1}.
[/mm]
Die linear unabhängigen Vektoren [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] sind zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1. (Und natürlich beide entsprechende Eigenvektoren)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die matrizze wäre wenn 5* Einheitsmatrizze von der matrix
> abgezogen ist:
Eine kleine Anmerkung: der Singular ist Matrix, der Plural Matrizen.
LG Felix
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