eigenschaften des integrals < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Di 19.04.2005 | | Autor: | ju2327 |
ich komme bei einer aufgabe über integralrechnung leider nicht weiter. ich muss zeigen, wenn eine funktion f : [a, b] -> R stetig, nichtnegativ, und der integralwert über [a, b] null ist, so ist f(x) = 0 für alle x aus [a, b]. anschaulich ist es mir schon klar, dass die konstante funktion f(x) = 0 den integralwert = 0 hat. ich habe nur probleme, dieses formal herzuleiten. vielen dank für jede hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 19.04.2005 | | Autor: | choosy |
Hallo erstmal, ich schau mal was sich da machen lässt
> ich komme bei einer aufgabe über integralrechnung leider
> nicht weiter. ich muss zeigen, wenn eine funktion f : [a,
> b] -> R stetig, nichtnegativ, und der integralwert über [a,
> b] null ist, so ist f(x) = 0 für alle x aus [a, b].
> anschaulich ist es mir schon klar, dass die konstante
> funktion f(x) = 0 den integralwert = 0 hat. ich habe nur
> probleme, dieses formal herzuleiten. vielen dank für jede
> hilfe
hmmm die richtung die dir klar ist und die du zeigen willst ist aber nicht gefordert......, gefordert ist folgendes:
nehmen wir mal an es ex. [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_0)\neq [/mm] 0$ (d.h. wir nehmen an f ist nicht identisch 0 )
da f stetig ist ex. dann [mm] $\delta [/mm] >0$ mit
[mm] $f(x)\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in (x_0 -\delta, x_0 +\delta)$
[/mm]
da f nicht negativ ist gilt also
$f(x) > 0$ für alle [mm] $x\in (x_0 -\delta, x_0 +\delta)$
[/mm]
also insbesondere
[mm] $\int_{x_0 -\delta}^{x_0 +\delta} [/mm] f(x) dx > 0$
(falls das unklar ist: stetige funktionen nehmen auf kompakta ein minumum an, damit ist das integral grösser dem min von f auf [mm] $(x_0 -\delta, x_0 +\delta)$ [/mm] mal [mm] $2\delta$)
[/mm]
dies ist ein widerspruch zur annahme, denn
[mm] $\int_{a}^{b} [/mm] f(x) dx = [mm] \underbrace{\int_{a}^{x_0 -\delta} f(x) dx}_{\geq0} +\underbrace{\int_{x_0 -\delta}^{x_0 +\delta} f(x) dx}_{>0} +\underbrace{\int_{x_0 +\delta}^{b} f(x) dx}_{\geq 0,\text{ da f nicht neg.}} [/mm] >0$
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