eigenschaft überprüfen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 16.07.2007 | | Autor: | tete |
| Aufgabe | Sei g : [mm] \IR^n [/mm] \ {0} [mm] \to\IR [/mm] eine Funktion und r [mm] \in\IN. [/mm] g heißt ein klein-o von
[mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^r [/mm] für h gegen Null, wenn
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0 , h\not=0 } \bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^r} [/mm] =0 gilt.
Implizit taucht dieser Begriff bei der Differentiation auf: f ist nach Definition bei [mm] x_0 [/mm] genau dann differnzierbar, wenn [mm] f(x_0+h)-f(x_0)- [/mm] ein klein-o von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel [/mm] ist.
Zeigen Sie:
a) Ist [mm] g_1 [/mm] ein klein-o von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^{r_1} [/mm] und [mm] g_2 [/mm] ein klein-o von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^{r_2}, [/mm] so ist [mm] g_1+g_2 [/mm] ein klein-o von
[mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^r [/mm] , wobei r:= min { [mm] r_1 [/mm] , [mm] r_2 [/mm] }.
b) Ist g ein klein-o von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^r [/mm] und r>1, so ist g auch ein klein-o von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^{r-1} [/mm] |
So auf diese Aufgabe bin ich im Rahmen meiner Klausurvorbereitung gestoßen und habe keine so richtige Idee. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könnt.
Ich nehme mal an, das klein-o nur irgendeine Eigenschaft darstellen soll und man zeigen muss wenn das eine diese Eigenschaft hat, dann hat es auch das andere, es könnte wohl genauso gut die Eigenschaft >grün< da stehen, oder sehe ich das falsch???
bei a)
habe ich mich mal probiert und möchte mal meine Gedanken wiedergeben:
für [mm] g_1 [/mm] gilt: [mm] \limes_{h\rightarrow\0 , h\not=0} \bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^(r_1)} [/mm] =0 und für [mm] g_2 [/mm] auch
zu zeigen ist ja, das es dann auch für [mm] g_1+g_2 [/mm] gilt also [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0 , h\not=0 } \bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^(r_1)}+\bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^(r_2)} [/mm] =0 ?
jetzt kann man die Summanden unter dem limes trennen und jeden Summanden sein eigenes lim geben, dann steht da lim(1. Summand)+lim(2. Summand) =0?
da aber nach Voraussetz der lim(1. Summand)=0 und lim(2. Summand)=0 ist lim(1.Summand+2.Summand)=0 [mm] \Rightarrow g_1+g_2 [/mm] hat auch die eigenschaft klein-o
ich hoffe ihr könnt es nachvollziehen und mir sagen ob meine Idee im Grunde richtig ist, das was mir irgendwie stört ist, dass ich das mit dem
r:= min( [mm] r_1 [/mm] , [mm] r_2 [/mm] ) gar nicht verwendet habe.
bei b)
muss ich leider sagen habe ich keine Idee, würde mich daher über jede Info, jeden Tipp oder ähnlich freuen
D A N K E schon mal
beste Grüße tete
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mo 16.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Ich nehme mal an, das klein-o nur irgendeine Eigenschaft
> darstellen soll und man zeigen muss wenn das eine diese
> Eigenschaft hat, dann hat es auch das andere, es könnte
> wohl genauso gut die Eigenschaft >grün< da stehen, oder
> sehe ich das falsch???
Stimmt.
> zu zeigen ist ja, das es dann auch für [mm]g_1+g_2[/mm] gilt also
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0 , h\not=0 } \bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^(r_1)}+\bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^(r_2)}[/mm]
> =0 ?
Nein. Sei [mm] r_{1}=min(r_{1}, r_{2}). [/mm] Dann ist z.z., dass
[mm] \limes_{h\rightarrow 0, h\not=0}\bruch{g_{1}(h)+g_{2}(h)}{|h|^{r_{1}}}=0.
[/mm]
> bei b)
> muss ich leider sagen habe ich keine Idee, würde mich
> daher über jede Info, jeden Tipp oder ähnlich freuen
[mm] \bruch{g(h)}{|h|^{r-1}}<\bruch{g(h)}{|h|^{r}} [/mm] für h gegen Null.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 16.07.2007 | | Autor: | tete |
Danke erstmal
also bei b) habe ich jetzt mal probiert anzufangen:
ich habe als erstes probiert die Nenner nach oben zu bringen, dann erhalte ich:
[mm] g(h)*|h|^{-(r-1)} [/mm] > [mm] g(h)*|h|^{-r} [/mm]
ich bin mir aber hier schon nicht ganz sicher, ob man das relationszeichen wirklich umdrehen muss?
so da g(h) auf beiden seiten vorkommt, dividiere ich dadurch:
[mm] |h|^{-r+1} [/mm] > [mm] |h|^{-r}
[/mm]
so und jetzt sieht man eigentlich schon, dass es stimmt, da |h| eine "einfache" positive reele Zahl ist und -r < -r+1
naja, ich bin etwas skeptisch....und hoffe daher nochmal auf eine Rückmeldung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 16.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Du könntest gleich beide Seiten durch g(h) teilen. g(h) könnte aber negativ sein. Außerdem ist die Folge [mm] \bruch{g(h)}{|h|^{r-1}} [/mm] wichtig. Dass g(h) und [mm] |h|^{r-1} [/mm] jeweils gegen 0 gehen weiß man bereits.
Schau dir doch noch mal [mm] 0<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r-1}}<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r}}=0, [/mm] für h gegen Null, an (es ist mir erst jetzt aufgefallen, dass man sich den Betrag der Ausdrücke anschauen soll, das ändert aber an dem Grundgedanken nichts).
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Di 17.07.2007 | | Autor: | tete |
Mhh sorry.... das verstehe ich nicht!
[mm]0<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r-1}}<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r}}=0,[/mm]
würde doch heißen die Ausdrücke sind beide =0 da aber [mm] 0<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r-1}}<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r}} [/mm] gilt, können doch nicht beide Ausdrücke =0 sondern sie müssten beide größer als Null sein!
Also da es nicht geht, würde ich fast sogar behaupten, das ist ein Beweis, dafür das es nicht funktioniert, wolltest du darauf hinaus oder bin ich jetzt völlig gegen die Wand gelaufen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> [mm]0<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r-1}}<\bruch{|g(h)|}{\parallel h\parallel^{r}}=0,[/mm]
Das ist schlecht hingeschrieben. Besser:
[mm]0<\bruch{|g(h)|}{||h||^{r-1}}<\bruch{|g(h)|}{||h||^r} \mathop{\longrightarrow}\limits_{h\rightarrow 0} 0 [/mm].
Da der rechte Bruch für [mm]h\rightarrow 0[/mm] gegen 0 geht, muss auch der linke Bruch für [mm]h\rightarrow 0[/mm] gegen 0 gehen, denn er ist größer als 0 und kleiner als der rechte Bruch. Damit ist (b) bewiesen.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 17.07.2007 | | Autor: | tete |
ahh! danke, für b) habe ich es jetzt verstanden! -->D A N K E
nun nochmal zu a)
ich habe mir da folgendes überlegt:
es war ja zu zeigen das [mm] g_1+g_2 [/mm] ein klein o von [mm] \parallel [/mm] h [mm] \parallel^{r} [/mm] ist.
da aber gerade [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] klein-o sind steht doch eigentlich da, >Eigenschaft< + >Eigenschaft< das aber ist doch eigentlich trivial, also muss [mm] g_1 [/mm] + [mm] g_2 [/mm] gerade klein o sein!
oder gibt es da etwas was ich jetzt nicht beachtet habe oder einen aussagekräftigeren Beweis??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> nun nochmal zu a)
> ich habe mir da folgendes überlegt:
> es war ja zu zeigen das [mm]g_1+g_2[/mm] ein klein o von [mm]\parallel[/mm] h [mm]\parallel^{r}[/mm] ist.
> da aber gerade [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] klein-o sind steht doch
> eigentlich da, >Eigenschaft< + >Eigenschaft< das aber ist
> doch eigentlich trivial, also muss [mm]g_1[/mm] + [mm]g_2[/mm] gerade klein o
> sein!
Die Eigenschaft hängt aber vom Exponenten [mm]r[/mm] in [mm]||h||^r[/mm] ab, und damit ist es nicht beide Male die gleiche Eigenschaft. Wenn da also stünde: [mm]g_1[/mm] ist klein-o von [mm]||h||^r[/mm] und [mm]g_2[/mm] ist klein-o von [mm]||h||^r[/mm], dann wäre das Argument richtig.
Da steht aber: [mm]g_1[/mm] ist klein-o von [mm]||h||^{r_1}[/mm] und [mm]g_2[/mm] ist klein-o von [mm]||h||^{r_2}[/mm]. Und da muss man dann mit [mm]r=\min(r_1,r_2)[/mm] den kleineren der beiden Exponenten nehmen. Der Einfachheit halber kann man annehmen, dass [mm]r_1
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 17.07.2007 | | Autor: | tete |
also ich zeige mal meine rechnung soweit wie ich gekommen bin:
[mm] \bruch{|g_1(h)|}{|h|^{r_1}} [/mm] + [mm] \bruch{|g_2(h)|}{|h|^{r_2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{|g_1(h)+g_2(h)|}{|h|^{min(r_1,r_2)}} [/mm] Ann. [mm] r_1
= [mm] \bruch{|g_1(h)+g_2(h)|}{|h|^{r_1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{|g_1(h)|}{|h|^{r_1}} [/mm] + [mm] \bruch{|g_2(h)|}{|h|^{r_1}}
[/mm]
der erste Bruch hat gerade die besagte Eigenschaft n. V. aber wie kann man das jetzt noch für den zweiten Bruch zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 17.07.2007 | | Autor: | tete |
Ahh! jetzt habe auch ich es kapiert, vielen Dank für deine Mühe, ist wirklich ganz lieb!
Also nochmal vielen vielen D A N K !!!
beste Grüße tete
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo.
> Sei g : [mm]\IR^n[/mm] \ {0} [mm]\to\IR[/mm] eine Funktion und r [mm]\in\IN.[/mm] g heißt ein klein-o von [mm]\parallel[/mm] h [mm]\parallel^r[/mm] für h gegen Null, wenn
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0 , h\not=0 } \bruch{g(h)}{\parallel h \parallel^r}[/mm]=0 gilt.
> [...]
> Ich nehme mal an, das klein-o nur irgendeine Eigenschaft
> darstellen soll und man zeigen muss wenn das eine diese
> Eigenschaft hat, dann hat es auch das andere, es könnte
> wohl genauso gut die Eigenschaft >grün< da stehen, oder
> sehe ich das falsch???
Salopp gesagt, geht es darum, dass g ein klein-o von [mm]||h||^r[/mm] für [mm]h\rightarrow 0[/mm] ist, wenn g schneller gegen 0 geht als [mm]||h||^r[/mm].
Beispiel: [mm]g(h)=||h||^2 \mathrm{e}^{||h||}[/mm] ist ein klein-o von [mm]||h||^1[/mm].
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 17.07.2007 | | Autor: | tete |
Ohh mein Gott,
kann mir vielleich bitte jemand eine Musterlösung posten, die ich dann nachvollziehen könnte und bei rückfragen dann diese noch stellen könnte. Ich schreibe wie schon gesagt Klausur und will mir noch andere Themen angucken, habe aber den Kopf nicht frei, solange diese Aufgabe ungelöst ist.
Ich bitte euch vielmals, da mir diese Aufgabe nicht aus dem Kopf geht.
ich würde mich sehr freuen!
Gruß tete
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