echte untere Dreiecksmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] D^{0}_{n-1}=<( e_{i}e_{k}^{T} [/mm] : i=1,...,n-1, k=i+1,...n)>
der Untervektorraum der echten unteren Dreiecksmatrizen.
Ferner sei [mm] D^{0}_{n-2}=<( e_{i}e_{k}^{T} [/mm] : i=1,...,n-2, k=i+2,...n)>.
Man zeige: [mm] D,D`\in D^{0}_{n-1} [/mm] => D*D` [mm] \in D^{0}_{n-2} [/mm] .
Wie kann man diese Aussage erweitern?
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Erstmal hallo,
also ich das jetzt versucht über vollständige Induktion zu beweisen,
indem ich n=3 im allgemeinen bewiesen habe :
D*D'= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ b_{11} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{22}*b_{11} & 0 & 0 } [/mm]
Also folgt daraus, dass D*D' [mm] \in D^{0}_{n-2} [/mm] ist.
So nun Induktionsschritt n-1 -> n
jetzt meine frage reicht es jetzt aus wenn ich die Matrizen so allgemein darstelle:
D*D'= [mm] \pmat{ 0 & 0 & ... & 0 \\ a_{11} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & ... & 0 \\ b_{11} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & 0 \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0& 0 & ... & 0 \\ a_{22}b_{11} & 0 & ... & 0 \\ * & ... & ... & 0 } [/mm] ,
wobei * = [mm] a_{n2}b_{11}+a_{n3}b_{21}+ [/mm] ... + [mm] a_{nn-1}b_{n-1n}
[/mm]
ist.
Meine Frage nun reicht das so als Beweis aus??
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halllo,
kann mir jemand wenigstens sagen ,
wie man dieses Matrixprodukt als Summe schreibt?
Ich meine z.b. wenn n=3 wäre
dann sähe das ja ungefähr so aus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{23} & 0} [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ b_{11} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{23} & 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{32}b_{21} & 0 & 0} [/mm]
Wie kann man das in Summenschreibweise schreiben?
allgemein wäre das ja
[mm] c_{ij}= \summe_{m=1}^{3}a_{im}b_{mj} [/mm] = ??
aber nun sind ja schon bestimmte elemente = 0.
Danke für Hilfe und Frohe Ostern :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 18.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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