echte Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | Sei [mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = cN$ mit $x, y, c [mm] \in \IZ$ [/mm] und $x [mm] \not\equiv \pm [/mm] y$ mod $N$, dann sind $a := ggT(x - y, N)$ und $b := ggT(x + y, N)$ echte Teiler von $N$. |
Ich verstehe das Fazit vom Beweis nicht.
$x [mm] \not\equiv \pm [/mm] y$ mod $N$ ist äquivalent zu $x [mm] \pm [/mm] y [mm] \not\equiv [/mm] 0$ mod $N$. Somit gilt $a, b < N$. Aus der Zerlegung
[mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = (x + y)(x - y) = cN$
und der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt, dass wir $c$ und $N$ so in ganze Zahlen zerlegen können, dass $c = de$ und $N = ml$ mit $x - y = dm$ und $x + y = el$ gilt. Damit sind $m$ und $l$ Teiler von $a$ und $b$. Wegen $a, b < N$ muss $m, l [mm] \neq \pm [/mm] N$ sein, also auch $m, l [mm] \neq \pm [/mm] 1$. Folglich sind auch $a$ und $b$ echte Teiler von $N$.
Ich habe den Beweis bis auf das Rotmarkierte verstanden. Kann mir das einer erklären?
Grüße,
Joan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Do 13.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]x^2 - y^2 = cN[/mm] mit [mm]x, y, c \in \IZ[/mm] und [mm]x \not\equiv \pm y[/mm]
> mod [mm]N[/mm], dann sind [mm]a := ggT(x - y, N)[/mm] und [mm]b := ggT(x + y, N)[/mm]
> echte Teiler von [mm]N[/mm].
> Ich verstehe das Fazit vom Beweis nicht.
>
> [mm]x \not\equiv \pm y[/mm] mod [mm]N[/mm] ist äquivalent zu [mm]x \pm y \not\equiv 0[/mm]
> mod [mm]N[/mm]. Somit gilt [mm]a, b < N[/mm]. Aus der Zerlegung
> [mm]x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = cN[/mm]
>
> und der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
> folgt, dass wir [mm]c[/mm] und [mm]N[/mm] so in ganze Zahlen zerlegen
> können, dass [mm]c = de[/mm] und [mm]N = ml[/mm] mit [mm]x - y = dm[/mm] und [mm]x + y = el[/mm]
> gilt. Damit sind [mm]m[/mm] und [mm]l[/mm] Teiler von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. Wegen [mm]a, b < N[/mm]
> muss [mm]m, l \neq \pm N[/mm] sein, also auch [mm]m, l \neq \pm 1[/mm].
> Folglich sind auch [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] echte Teiler von [mm]N[/mm].
>
> Ich habe den Beweis bis auf das Rotmarkierte verstanden.
> Kann mir das einer erklären?
Hallo,
etwas weiter oben steht N=ml, und etwas tiefer "...muss [mm]m, l \neq \pm N[/mm] sein" (was du noch verstehst).
Die Folgerung [mm]\red{m, l \neq \pm 1}[/mm]. ist logisch.
Wäre nämlich z.B. m=1 erlaubt, dann wäre wegen [mm]ml=N [/mm] DOCH [mm]l=N [/mm] gültig, was ja aber nicht sein darf.
Gruß Abakus
>
> Grüße,
> Joan
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 13.05.2010 | | Autor: | Joan2 |
Achso, das habe ich jetzt verstanden, danke.
Aber wie kommt man dann darauf, dass a und b echte Teiler sind?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie kommt man dann darauf, dass a und b echte Teiler
> sind?
Da [m]1
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 13.05.2010 | | Autor: | Joan2 |
Und wie kommt man darauf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Und wie kommt man darauf?
Weil [m]m,l\neq\pm 1[/m] Teiler von a und b sind. Du solltest den Beweis jedenfalls nochmal lesen ...
SEcki
|
|
|
|
