e^at Laplacetransformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 21.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Laplacetransformation von [mm] e^{at}, [/mm] welche bekanntlich [mm] \frac{1}{s-a} [/mm] ist:
[mm] L(e^a)=\integral_{0}^{\infty}{e^{at} e^{-st} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{e^{at-st} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{e^{(a-s)t} dt}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{s-a}
[/mm]
Das Letzte Gleichheitszeichen gilt doch aber nur, wenn (a-s) < 0 ist. Setzt man dies immer stillschweigen vorraus? (weil in jeder Formelsammlung dies als die gültige Laplacetransformation angegeben wird.)
Gruß,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mo 22.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur Laplacetransformation von [mm]e^{at},[/mm]
> welche bekanntlich [mm]\frac{1}{s-a}[/mm] ist:
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> [mm]L(e^a)=\integral_{0}^{\infty}{e^{at} e^{-st} dt}[/mm]
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> [mm]=\integral_{0}^{\infty}{e^{at-st} dt}[/mm]
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> [mm]=\integral_{0}^{\infty}{e^{(a-s)t} dt}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{s-a}[/mm]
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> Das Letzte Gleichheitszeichen gilt doch aber nur, wenn
> (a-s) < 0 ist. Setzt man dies immer stillschweigen vorraus?
> (weil in jeder Formelsammlung dies als die gültige
> Laplacetransformation angegeben wird.)
Hallo,
Du hast vollkommen recht, obiges Integral existiert für $s<a$ nicht, für s=a kommt 0 raus. Ich kenne mich zwar nicht wirklich damit aus, insbesondere weiß ich nicht wie Physiker oder Ingenieure damit umgehen, aber exakt müsste man sagen: "Die Laplace-Transormation von [mm]e^{ax}[/mm] an der Stelle s existiert für [mm]s\ge a[/mm] und es gilt [mm] $$\mathcal{L}\{e^{ax}\}(s)=\begin{cases}0&\text{für }s=a\\\frac{1}{s-a}&\text{sonst}\end{cases}$$Insbesondere [/mm] ist die Laplcae Transformierte auf ihrem größtmöglichen Definitionsbereich nicht stetig.
Ich vermute man setzt immer stillschweigend voraus, dass man nur solche s betrachtet, an denen die Laplacetransformierte auch existiert. Der Fall $s=a$ ist dann halt Schlamperei.
Gruß, Robert
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