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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR [/mm] zeige
[mm] e^{tA} [/mm] = [mm] \pmat{ cosht & sinht \\ sinht & cosht }
[/mm]
wobei A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Hallo zusammen.
[mm] A^2 [/mm] = I => [mm] A^{2k} [/mm] =1 für k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] A^{2k+1} [/mm] = A
[mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(tA)^n}{n!} [/mm] = [mm] (t^0 A^0 [/mm] + [mm] \frac{t^2 A^2}{2!}+..)+(t^1 A^1 [/mm] + [mm] \frac{t^3 A^3}{3!}+..)
[/mm]
= (1 + [mm] t^2/2 [/mm] + [mm] t^4/(4!) [/mm] +..)I + t [mm] (t+t^3/(3!) +t^5/(5!) [/mm] +...)*A
Nun komme ich leider nicht weiter, hat wer einen Tipp wie ich mit DEM ANSATZ weiter kommen?
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Hallo Lu-,
> Für jedes t [mm]\in \IR[/mm] zeige
> [mm]e^{tA}[/mm] = [mm]\pmat{ cosht & sinht \\ sinht & cosht }[/mm]
> wobei A=
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> Hallo zusammen.
> [mm]A^2[/mm] = I => [mm]A^{2k}[/mm] =1 für k [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]A^{2k+1}[/mm] = A
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{(tA)^n}{n!}[/mm] = [mm](t^0 A^0[/mm] + [mm]\frac{t^2 A^2}{2!}+..)+(t^1 A^1[/mm]
> + [mm]\frac{t^3 A^3}{3!}+..)[/mm]
> = (1 + [mm]t^2/2[/mm] + [mm]t^4/(4!)[/mm] +..)I + t
> [mm](t+t^3/(3!) +t^5/(5!)[/mm] +...)*A
>
Das muss doch lauten:
[mm](1 + t^2/2 + t^4/(4!) +..)I + (t+t^3/(3!) +t^5/(5!) +...)*A[/mm]
> Nun komme ich leider nicht weiter, hat wer einen Tipp wie
> ich mit DEM ANSATZ weiter kommen?
Die Klammerausdrücke sind Taylorreihen bekannter Funktionen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Achso das ergibt ja doch das ergebnis,
hab mich beim zusammnzählen geirrt.
Danke ;)
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