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| Aufgabe | [mm] s(x)=\bruch{1}{2}*(e^x-e^{-x})
[/mm]
[mm] c(x)=\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})
[/mm]
1.) zeigen sie, dass für [mm] x\to \infty [/mm] der graph con c asymptotische kurve zum graph von s ist.
2) zeigen sie, dass s in ganz [mm] \IR [/mm] umkehrbar ist. berechnen sie die umkehrfunktion t(x) |
also zu 1. habe ich überhaupt keinen plan...
einfach grenzwert berechnen oder wie?
2.) bin jetzt so weit, dass ich
[mm] 2x=e^y [/mm] - e^-y
habe und das kann ich nicht nach y umformen, muss ja gehen, wenn es so in der aufgabe steht...
vielleicht hat jemand ne idee
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
> [mm]s(x)=\bruch{1}{2}*(e^x-e^{-x})[/mm]
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> [mm]c(x)=\bruch{1}{2}*(e^x+e^{-x})[/mm]
>
> 1.) zeigen sie, dass für [mm]x\to \infty[/mm] der graph con c
> asymptotische kurve zum graph von s ist.
>
> 2) zeigen sie, dass s in ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar ist. berechnen
> sie die umkehrfunktion t(x)
> also zu 1. habe ich überhaupt keinen plan...
> einfach grenzwert berechnen oder wie?
Für [mm] $x\to\infty$ [/mm] geht [mm] $e^{-x}$ [/mm] gegen null, d.h. die beiden Funktionen $s$ und $c$ nähern sich bei wachsendem $x$ immer weiter an.
Das kannst du auch ausrechnen, wenn du [mm] $\lim_{x\to\infty}c(x)-s(x)$ [/mm] berechnest und siehst, dass der Grenzwert gegen null geht.
Schau doch mal in deine Aufzeichnung was ihr über Asymptoten und deren Berechnung aufgeschrieben habt. Vielleicht kommst du dann weiter.
Du könntest auch so argumentieren: Da bei beiden Funktionen der [mm] $e^{-x}$-Term [/mm] für [mm] $x\to\infty$ [/mm] verschwindet, haben beide die gemeinsame Asymptote [mm] $\frac{1}{2}e^x$ [/mm] (diese liegt zwischen $c$ und $s$ und beide Funktionen schmiegen sich an sie an). Folgere daraus, dass $c$ Asymptote von $s$ ist (und umgekehrt).
> 2.) bin jetzt so weit, dass ich
> [mm]2x=e^y[/mm] - e^-y
> habe und das kann ich nicht nach y umformen, muss ja
> gehen, wenn es so in der aufgabe steht...
Forme folgendermaßen um:
[mm] $2x=e^y-e^{-y}=\frac{e^{2y}-1}{e^y}\quad\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $2xe^y=e^{2y}-1\quad\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $e^{2y}-2xe^y=1\quad\Leftrightarrow$
[/mm]
Jetzt addiere auf beiden Seiten [mm] $x^2$ [/mm] - binomische Formel - Wurzelziehen - Logarithmieren.
> vielleicht hat jemand ne idee
>
> liebe grüße
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mi 17.03.2010 | | Autor: | best_amica |
zu 2.
dann komme ich am ende auf
[mm] y-e^y [/mm] =-x -1
habe ja immer noch 2 mal das y und nicht eins...wie bekomme ich das andere weg?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Do 18.03.2010 | | Autor: | fencheltee |
> zu 2.
>
> dann komme ich am ende auf
>
> [mm]y-e^y[/mm] =-x -1
>
> habe ja immer noch 2 mal das y und nicht eins...wie bekomme
> ich das andere weg?
rechne mal bitte vor, du scheinst einige rechenfehler gemacht zu haben, bzw. einige rechenregeln verletzt zu haben..
die lösung von fulla ist schön, jedoch hat man da nicht immer auch ein auge für 
du kannst zb auch [mm] z=e^y [/mm] substituieren, und kommst so auf eine quadratische gleichung für z. am ende resubstituieren
und sowas beim nächsten mal auch bitte als frage stellen, nicht als mitteilung
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Do 18.03.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
ich muss zugeben, dass ich durch diesen Thread auf die Umkehrfunktion gekommen bin...
Aber substituieren und die quadratische Gleichung lösen führt genauso zum Ziel.
Lieben Gruß,
Fulla
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