e-Funktion/Anwendungsaufgabe < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo :)
Folgende Aufgabe ist zu lösen:
Das Querschnittsprofil eines 400m langen Kanals kann durch
f(x)= [mm] 2x*e^{-0,25x^{2}} [/mm] modelliert werden.
(0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5, 1 LE = 1m)
[mm] (e^{-0,25x^{2}})' [/mm] = [mm] -0,5x*e^{-0,25x^{2}}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
1) Wie hoch ist die Dammkrone?
- die 1.Ableitung muss hier = 0 gesetzt werden, oder?
f'(x)= [mm] -x^{2}*e^{-0,25x^{2}} [/mm] ?
[mm] -x^{2}*e^{-0,25x^{2}}= [/mm] 0
..kann man hier denn weiterrechnen? Wenn ja: dann wie?
Da [mm] e^{irgend eine Zahl} \not=
[/mm]
Wie breit ist die Wasserrine?
-Hmm..
2) Zeige, dass F(x)= [mm] -4e^{-0,25x^{2}}
[/mm]
- F'(x)= [mm] 2xe^{-0,25x^{2}} [/mm] = f(x)
3) Berechnen Sie das maximale Fassungsmögen des Kanals
- Hier die 3.Ableitung = 0 setzen?
4) Der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigung von 40°.
Kann der Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone befahren werden?
- hmm. Wie muss ich hier vorgehen?
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)
Gruß,
Muellermilch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:44 Di 03.05.2011 | | Autor: | Muellermilch |
> Hallo Müllermilch!
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> > 1) Wie hoch ist die Dammkrone?
> > - die 1.Ableitung muss hier = 0 gesetzt werden, oder?
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> > f'(x)= [mm]-x^{2}*e^{-0,25x^{2}}[/mm] ?
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst die  Produktregel anwenden.
ok. Dann:
f'(x)= [mm] 2x*(-0,5xe^{0,25x^{2}})+2e^{0,25x^{2}}
[/mm]
f'(x)= [mm] x^{2}xe^{0,25x^{2}}+ 2e^{0,25x^{2}}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] da 2x *0,5x*e...
Man könnte [mm] ^{0,25x^{2}} [/mm] ausklammern. Aber da ich f' gleich Null setzen muss, wäre das unpraktisch oder?
[mm] -x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}+2e^{0,25x^{2}} [/mm] = 0 [mm] |+-x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}
[/mm]
[mm] 2e^{0,25x^{2}} =x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}} [/mm] |: [mm] e^{0,25x^{2}}
[/mm]
2= [mm] \bruch{x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}}{e^{0,25x^{2}}}
[/mm]
2= [mm] x^{2} [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
x= 1,414 oder x= -1,414
Das haben wir heute so in etwa gelernt.
Einfacher wär doch das Ausklammern habe ich grad bemerkt.
der eine Term ist aber nicht definiert?
Also e hoch irgendeine Zahl ist ja immer ungleich Null.
Der andere Faktor wäre aber:
[mm] -x^{2}+2 [/mm] = 0
so richtig?
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
> ok. Dann:
> f'(x)= [mm]-x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}+2e^{0,25x^{2}}[/mm]
Wie entsteht bei Dir der erste Term? ... Sehr rätselhaft. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Man könnte [mm]^{0,25x^{2}}[/mm] ausklammern. Aber da ich f' gleich
> Null setzen muss, wäre das unpraktisch oder?
>
> [mm]-x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}+2e^{0,25x^{2}}[/mm] = 0
> [mm]|+-x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}[/mm]
>
> [mm]2e^{0,25x^{2}} =x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}[/mm] |: [mm]e^{0,25x^{2}}[/mm]
>
> 2= [mm]\bruch{x^{2}*(-0,5xe^{0,25x^{2}}}{e^{0,25x^{2}}}[/mm]
>
> 2= [mm]x^{2}[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
Und diese Umformungen sind teilweise sehr ... abenteuerlich. Auch wenn Du dann mehr oder minder zufällig auf das korrekte Ergebnis kommst.
> Die Dammkrone ist 1,42m hoch?
Gibt dieser Wert eine Höhe an?
> also das obere x mal 2.. Woher weiß ich denn das es das
> doppelte ist?
Betrachte eingehend Deine Skizze. Dort sollte doch erkennbar sein, dass die Rinne achsensymmetrisch aufgebaut ist.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
Deine Ableitung stimmt immer noch nicht!
Einerseits ist da stets noch ein $x_$ zuviel, oder soll das ein Mal-Punkt sein?
Und dann verschwinden die Vorzeichen in den Exponenten.
Bitte eröffne auch bei neuen Rechnungen einen neuen Frageartikel und editiere nicht im alten Artikel herum. Das trägt in keinster Weise zur Übersichtlichkeit bei.
Gruß
Loddar
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nochmal:
[mm] f(x)=2xe^{-0,25x^{2}}
[/mm]
produktregel:
v=2x v'=2
[mm] u=e^{-0,25x^{2}} [/mm]
[mm] u'=-0,5xe^{-0,25x^{2}} [/mm] (auch so wie der Hinweis sagt)
f#(x)=v*u'+u*v'
f'(x)= 2x* (-0,5x [mm] e^{-0,25x^{2}}) [/mm] + [mm] e^{-0,25x^{2}} [/mm] * 2
f'(x)= [mm] -x^{2} e^{-0,25x^{2}}+ 2e^{-0,25x^{2}} [/mm] * 2
f'(x)= [mm] e^{-0,25x^{2}}* (-x^{2}+2)
[/mm]
So denke ich, das es richtig ist.
Ich versteh nicht, warum es falsch sein soll, und warum da ein x zu viel sein soll, wenn [mm] x*x=x^{2} [/mm] ?
Gruß,
Muellermilch
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Hallo, jetzt ist 1. Ableitung ok, (in der vorletzten Zeile hast du aber noch einen Faktor 2 zuviel, ganz am Ende) Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
> Ich versteh nicht, warum es falsch sein soll, und warum da
> ein x zu viel sein soll, wenn [mm]x*x=x^{2}[/mm] ?
Dann siehe Dir mal Deinen eigenen Artikel an.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> 2) Zeige, dass F(x)= [mm]-4e^{-0,25x^{2}}[/mm]
>
> - F'(x)= [mm]2xe^{-0,25x^{2}}[/mm] = f(x)
Könnte man vielleicht einen kleinen Zwischenschritt aufschreiben.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> 3) Berechnen Sie das maximale Fassungsmögen des Kanals
> - Hier die 3.Ableitung = 0 setzen?
Hier musst Du Flächeninhalt zwischen Kurve und y-Achse berechnen.
Bestimme hierfür zunächst den Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse im Intervall von 0 bis Dammkrone.
Gruß
Loddar
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> Hallo!
>
>
> > 3) Berechnen Sie das maximale Fassungsmögen des Kanals
> > - Hier die 3.Ableitung = 0 setzen?
>
> Hier musst Du Flächeninhalt zwischen Kurve und
> y-Achse berechnen.
>
> Bestimme hierfür zunächst den Flächeninhalt zwischen
> Kurve und x-Achse im Intervall von 0 bis Dammkrone.
ok, Danke :)
Dann lautet es hier zunächst
[mm] \integral_{0}^{1,72}{2xe^{-0,25^{2}} dx}
[/mm]
Wie integriert mane-Funktionen?
Gruß,
Muellermilch
>
> Gruß
> Loddar
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
> Dann lautet es hier zunächst [mm]\integral_{0}^{1,72}{2xe^{-0,25^{2}} dx}[/mm]
Wie kommst Du auf die obere Integrationsgrenze?
Und mal wieder schlampig aufgeschrieben! Wo ist die Variable im Exponenten?
> Wie integriert mane-Funktionen?
Zum einen gilt: [mm] $\integral{e^z \ dz} [/mm] \ = \ [mm] e^z+c$
[/mm]
Hier musst Du zudem substituieren: $z \ := \ [mm] -0{,}25*x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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> Hallo Müllermilch!
>
>
> > Dann lautet es hier zunächst
> [mm]\integral_{0}^{1,72}{2xe^{-0,25^{2}} dx}[/mm]
> Wie kommst Du auf die obere Integrationsgrenze?
Das ist der y Wert den ich rausbekommen habe. Die Höhe..
Aber da muss der x-Wert hin. [mm] \wurzel{2}
[/mm]
also:
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}{2xe^{-0,25x^{2}} dx}
[/mm]
>
> > Wie integriert mane-Funktionen?
>
> Zum einen gilt: [mm]\integral{e^z \ dz} \ = \ e^z+c[/mm]
>
> Hier musst Du zudem substituieren: [mm]z \ := \ -0{,}25*x^2[/mm] .
Ist auch was anderes möglich? Unser Lehrer macht noch keine Substitution an e-Funktionen mit uns, bzw das wird auch nicht gemacht im Grundkurs.
> Gruß
> Loddar
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 03.05.2011 | | Autor: | abakus |
> > Hallo Müllermilch!
> >
> >
> > > Dann lautet es hier zunächst
> > [mm]\integral_{0}^{1,72}{2xe^{-0,25^{2}} dx}[/mm]
>
> > Wie kommst Du auf die obere Integrationsgrenze?
> Das ist der y Wert den ich rausbekommen habe. Die Höhe..
> Aber da muss der x-Wert hin. [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> also:
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}{2xe^{-0,25x^{2}} dx}[/mm]
>
>
> >
> > > Wie integriert mane-Funktionen?
> >
> > Zum einen gilt: [mm]\integral{e^z \ dz} \ = \ e^z+c[/mm]
> >
> > Hier musst Du zudem substituieren: [mm]z \ := \ -0{,}25*x^2[/mm] .
>
> Ist auch was anderes möglich? Unser Lehrer macht noch
> keine Substitution an e-Funktionen mit uns, bzw das wird
> auch nicht gemacht im Grundkurs.
> > Gruß
> > Loddar
> Gruß,
> Muellermilch
>
Hallo,
wenn man eine Funktion [mm] f(x)=e^{irgendwas} [/mm] ableitet, muss man die Kettenregel verwenden, und die Ableitung ist dann
(Ableitung von [mm] irgendwas)*e^{irgendwas}.
[/mm]
Wenn du umgekehrt einen Term dieser Form hast, ist eine Stammfunktion davon eben diese e-Funktion.
Die Ableitung von [mm] e^{-0,25x^{2}} [/mm] ist [mm] -0,5xe^{-0,25x^{2}}, [/mm] und das ist (fast) dein Term, den du integrieren willst.
Eine Stammfunktion von [mm] f(x)=-0,5xe^{-0,25x^{2}} [/mm] ist [mm] F(x)=e^{-0,25x^{2}},
[/mm]
und [mm] 2xe^{-0,25^{2}} [/mm] ist einfach das (-4)fache von [mm] -0,5xe^{-0,25x^{2}}.
[/mm]
Also ist die gesuchte Stammfunktion auch das (-4)-fache von [mm] e^{-0,25x^{2}}.
[/mm]
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Müllermilch!
> Ist auch was anderes möglich?
Ja, verwende die Information aus Teilaufgabe 2.
Gruß
Loddar
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Hallo :)
Also zur 3.Aufgabe:
Flächeninhalt zwischen x-Achse und Kurve:
Hier muss ich doch die Grenzen Null und 1,414 nehmen oder ?
1,414 = x -Wert aus AUfgabe 1
Aber da wird keine genaue Fläche eingeschlossen?
Ich müsste den y-Wert noch angeben, da dieser die Fläche schließt?!
Also
1,72 (y-Wert->Höhe) = [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}{2xe^{-0,25x^{2}}dx}
[/mm]
So richtig?
Was mache ich eigentlich mit den 400m die mir gegeben sind?
Wo sind die gebraucht?
Gruß,
Muellermilch
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Hallo,
[Dateianhang nicht öffentlich]
dein (halber) Graben hat die grüne Fläche als Querschnittsfläche, berechne das Rechteck, bestehend aus grüner und blauer Fläche, über das Integral kommst du an die blaue Fläche, bedenke, der Graben hat als "Grundfläche" das Doppelte der grünen Fläche, die 400m sind dann die "Höhe" vom Graben, [mm] V=A_g*h, [/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> dein (halber) Graben hat die grüne Fläche als
> Querschnittsfläche, berechne das Rechteck, bestehend aus
> grüner und blauer Fläche, über das Integral kommst du an
> die blaue Fläche, bedenke, der Graben hat als
> "Grundfläche" das Doppelte der grünen Fläche, die 400m
> sind dann die "Höhe" vom Graben, [mm]V=A_g*h,[/mm]
Dann ist meine Aufstellung bezüglich des Integrals doch richtig oder?
Grenzen 0 bis 1,414 für die blaue Fläche.
Oder von 0 bis 400 ?
Aber, ich brauch doch nur die grüne Flächen berechnen oder?
Da ich nur das maximale Fassungsvermögen des Kanals bestimmen soll.
Hmm.
> Steffi
>
Gruß Muellermilch
ps: Die aufgabe macht mich zuschaffen
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Hallo Muellermilch,
> > Hallo,
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > dein (halber) Graben hat die grüne Fläche als
> > Querschnittsfläche, berechne das Rechteck, bestehend aus
> > grüner und blauer Fläche, über das Integral kommst du an
> > die blaue Fläche, bedenke, der Graben hat als
> > "Grundfläche" das Doppelte der grünen Fläche, die 400m
> > sind dann die "Höhe" vom Graben, [mm]V=A_g*h,[/mm]
>
> Dann ist meine Aufstellung bezüglich des Integrals doch
> richtig oder?
Ja.
> Grenzen 0 bis 1,414 für die blaue Fläche.
> Oder von 0 bis 400 ?
>
Die Grenzen sind 0 und [mm]\wurzel{2}[/mm]
> Aber, ich brauch doch nur die grüne Flächen berechnen
> oder?
Ja.
> Da ich nur das maximale Fassungsvermögen des Kanals
> bestimmen soll.
> Hmm.
> > Steffi
> >
> Gruß Muellermilch
>
> ps: Die aufgabe macht mich zuschaffen
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Muellermilch,
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> > > Hallo,
> > >
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > >
> > > dein (halber) Graben hat die grüne Fläche als
> > > Querschnittsfläche, berechne das Rechteck, bestehend aus
> > > grüner und blauer Fläche, über das Integral kommst du an
> > > die blaue Fläche, bedenke, der Graben hat als
> > > "Grundfläche" das Doppelte der grünen Fläche, die 400m
> > > sind dann die "Höhe" vom Graben, [mm]V=A_g*h,[/mm]
> >
> > Dann ist meine Aufstellung bezüglich des Integrals doch
> > richtig oder?
>
>
> Ja.
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>
> > Grenzen 0 bis 1,414 für die blaue Fläche.
> > Oder von 0 bis 400 ?
> >
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> Die Grenzen sind 0 und [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
Gut :) Dann kriege ich da 1,573m² raus.
Was mache ich nun damit?
> > Aber, ich brauch doch nur die grüne Flächen berechnen
> > oder?
>
>
> Ja.
>
Wie kriege ich den raus? Wie muss ich denn weiterfortfahren?
Ich weiß das der Flächinhalt der Kurve und der y-Achse gesucht wird.
> > Da ich nur das maximale Fassungsvermögen des Kanals
> > bestimmen soll.
> > Hmm.
> > > Steffi
> > >
> > Gruß Muellermilch
> >
> > ps: Die aufgabe macht mich zuschaffen
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Gruß,
Muellermilch
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Hallo, bei diesem Ergebnis handelt es sich um die blaue Fläche, Ziel ist aber die grüne Fläche, der (halbe) Querschnitt vom Graben berechne jetzt das Rechteck, bestehend aus der grünen und blauen Fläche,
grüne Fläche=Rechteckfläche minus blaue Fläche
korrekt gerundet: 1,574
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 03.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> 4) Der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigung
> von 40°.
> Kann der Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone befahren
> werden?
> - hmm. Wie muss ich hier vorgehen?
Berechne den Maximalwert der Steigungsfunktion.
Gruß
Loddar
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> Hallo!
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> > 4) Der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigung
> > von 40°.
> > Kann der Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone
> befahren
> > werden?
> > - hmm. Wie muss ich hier vorgehen?
>
> Berechne den Maximalwert der Steigungsfunktion.
>
Das heißt: 2.Ableitung bestimmen?
und diese gleich 40° setzen?
Oder wie?
Gruß,
Muellermilch
> Gruß
> Loddar
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Hallo, 2. Ableitung berechnen ist ok, um den Maximalwert zu berechnen, gleich Null setzen, dann bekommst du die Stelle, an der die Steigungsfunktion (1. Ableitung) den maximalen Anstieg hat, Steffi
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