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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 07.03.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
ich habe folgende Funktion: f(x)=2x * e^(1-x)
Aufgabe 2: Zeige: F(x)=2x * e^(1-x) ist Stammfunktion.
Würde also bedeuten, f(x) und F(x) wären identisch.
Habe mir jetzt allerdings von einer mir mathematisch überlegenen Person sagen lassen, dass dies nicht stimmen würde, obwohl die Aufgabe so an der Tafel stand.
Laut des Mathebrains sähe die Ableitung von F(x) so aus (Produktregel): 2*e^(1-x)+2x*-(e^(1-x)) (großer Gott, ich peil ja noch net mal wie man das zusammenfasst).
Ich bin jetzt leider total irritiert und überfordert.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PS: Bitte entschuldigt, hab jetzt schon ein paar mal die Vorschau genutzt, bekomm das mit dem Formelsystem noch net hin. Aber das wird schon noch. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 07.03.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Gehen wir jetzt einfach mal davon aus ich bekomme die Ableitungen in Zukunft hin. :D
Kannst du oder jemand anders mir mal die anderen Dinge erklären, die in diesem Fall für eine vollständige Funktionsuntersuchung notwendig sind (Definitionsmenge, Symmetrie, Schnittpunkte mit y-Achse, Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Verhalten gegen +/- unendlich, Wertetabelle/Graph)?
Schreib nächsten Montag die Klausur und peil echt nix. :(
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Hi, SuperTTT,
Exponentialfunktionen dieses Typs sind einfacher als z.B. gebrochen-rationale Funktionen, da z.B. folgende Grundregel immer und ohne Ausnahme gilt: [mm] e^{(...)} [/mm] kann niemals =0 sein!
Schwieriger wirds beim Ableiten, weil Du
- immer die Produktregel und
- fast immer die Kettenregel brauchst.
Für die Kurvendiskussion nehmen wir Dein Beispiel: f(x) = [mm] 2x*e^{(1-x)}
[/mm]
Berechnen wir erst die Ableitungen:
f'(x)= [mm] 2*e^{(1-x)} +2x*e^{(1-x)}*(-1) [/mm] = [mm] (-2x+2)*e^{(1-x)} [/mm]
(Wichtig auch: Der Exponent der e-Funktion ändert sich NIE!)
f''(x) = [mm] -2*e^{(1-x)} [/mm] + [mm] (-2x+2)*e^{(1-x)} [/mm] *(-1) = [mm] (2x-4)*e^{(1-x)} [/mm]
Da - wie erwähnt - die Exponentialfunktion nie =0 sein kann, genügt es, im Folgenden die jeweiligen "Vorfaktoren = 0 zu setzen:
Nullstelle: 2x = 0 <=> x=0 (einfache NS; daher Schnittstelle der x-Achse; keine Berührstelle).
Extremstelle: (-2x+2) =0 <=> x=1. Vorzeichenwechsel +/-, daher Hochpunkt: H(1; 2) (y-Koordinate durch Einsetzen in f(x)!)
Wendestelle: (2x-4)=0 <=> x=2. 1-fache NS von f'', daher Wendestelle.
W(2; [mm] 4e^{-1}) [/mm] (y-Koordinate analog zum Extrempunkt!)
Grenzwerte: Da [mm] e^{x} [/mm] für x [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] geht,
für x [mm] \to -\infty [/mm] aber gegen 0 (x-Achse als Asymptote),
also FAUSTREGEL [mm] "e^{+\infty} [/mm] = [mm] +\infty" [/mm] und [mm] "e^{-\infty} [/mm] = 0" gilt,
hat unsere Funktion für x [mm] \to +\infty [/mm] die waagrechte Asymptote y=0 (x-Achse) und geht für x [mm] \to -\infty [/mm] gegen [mm] -\infty.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Di 08.03.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, schonmal danke euch beiden.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Prima - der Wille ist also schon da ...
