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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 17.11.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | hänge schon seit stunden an folgender aufgabe.... ich soll das zeigen: [mm] (1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}
[/mm]
mit r [mm] \in \IR [/mm] und |r|<n |
weder direkter beweis noch vollständige induktion haben geklappt :(
hat mir jemand ein heißen tipp?
lg Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Sandra,
versuch's doch mal mit dem Binomischen Lehrsatz:
[mm]\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\le \left(1+\frac{r}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\ \sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{n}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{k}[/mm]
Vielleicht schafftst du es ja, die rechte Seite auf die Form [mm]\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{r}{n}\right)^k +\ldots[/mm] zu bringen (oder zumindest geschickt abzuschätzen).
Lieben Gruß,
Fulla
EDIT: diverse Tippfehler ausgebessert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 17.11.2011 | | Autor: | saendra |
danke für die rasche antwort :)
kurze fage dazu: kommt bei den 1. buch nicht von hier: [mm] \sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{k}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{n+1}
[/mm]
nicht das hin [mm] \left(\frac{r}{n}\right)^n?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Do 17.11.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
> danke für die rasche antwort :)
>
> kurze fage dazu: kommt bei den 1. buch nicht von hier:
> [mm]\sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{k}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
>
> nicht das hin [mm]\left(\frac{r}{n}\right)^n?[/mm]
Du hast teilweise Recht. Da sind zwei kleine Vertipper drin. Und zwar auf beiden Seiten der Ungleichung. Es müsste korrekt heißen:
[mm]\sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{n}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{k}[/mm]
Denke damit müsstest du weiterkommen.
Beste Grüße!
skoopa
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:47 Fr 18.11.2011 | | Autor: | saendra |
bin nur bedingt weiter gekommen :(
soweit bin ich nach stundenlangen rumrechnen:
[mm] \summe_{\Phi=2}^{n}\left(\bruch{x^\Phi(n-1)!}{\Phi!(n-\Phi)!}\right)\left(\bruch{1}{n^{\Phi-1}}-\bruch{n}{(n+1)^{\Phi-1}(n-1)}\right) \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}
[/mm]
und jetzt bin ich total durcheinander :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 18.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo saendra,
> hänge schon seit stunden an folgender aufgabe.... ich soll
> das zeigen: [mm](1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}[/mm]
>
> mit r [mm]\in \IR[/mm] und |r|<n
Wende die Bernoulliungleichung auf
[mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}
[/mm]
an (wegen |r|<n folgt [mm] \left|\frac{r}{n+1}\right|<1).
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo saendra,
> > hänge schon seit stunden an folgender aufgabe.... ich
> soll
> > das zeigen: [mm](1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}[/mm]
>
> >
> > mit r [mm]\in \IR[/mm] und |r|<n
>
> Wende die Bernoulliungleichung auf
>
> [mm]\left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}[/mm]
Hallo Kamaleonti,
vielleicht hab ich heute meinen Nicht- Durchblick-Tag, aber mit obigem Hinweis kann ich nichts anfangen.
Gruß FRED
>
> an (wegen |r|<n folgt [mm]\left|\frac{r}{n+1}\right|<1).[/mm]
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Fr 18.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred97,
> vielleicht hab ich heute meinen Nicht- Durchblick-Tag, aber
> mit obigem Hinweis kann ich nichts anfangen.
Für x>-1 und [mm] \blue{k}\geq1 [/mm] gilt [mm] (1+x)^\blue{k}\geq 1+\blue{k}x, [/mm] also hier
[mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}\geq1+\frac{n+1}{n}\frac{r}{n+1}=1+\frac{r}{n},
[/mm]
denn aus [mm] \left|\bruch{r}{n+1}\right|<1 [/mm] folgt [mm] \frac{r}{n+1}>-1.
[/mm]
Potenzieren mit n führt nun zur Behauptung.
LG
EDIT: BLAU (Doppelbezeichnung r entfernt).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> > vielleicht hab ich heute meinen Nicht- Durchblick-Tag, aber
> > mit obigem Hinweis kann ich nichts anfangen.
>
> Für x>-1 und [mm]r\geq1[/mm] gilt [mm](1+x)^r\geq[/mm] 1+rx, also hier
>
> [mm]\left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}\geq1+\frac{n+1}{n}\frac{r}{n+1}=1+\frac{r}{n},[/mm]
>
> denn aus [mm]\left|\bruch{r}{n+1}\right|<1[/mm] folgt
> [mm]\frac{r}{n+1}>-1.[/mm]
>
> Potenzieren mit n führt nun zur Behauptung.
>
> LG
Edit: Mist von mir entfernt.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Fr 18.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred97,
> Dein Hinweis deckt also die Fälle 0 < r < 1 und -n<r<0 nicht ab !
Die Bezeichnung in meiner vorigen Mitteilung waren schlecht gewählt. Ich hatte die Bernoulliungleichung nur für den Fall reeller Koeffizienten [mm] \geq1 [/mm] angegeben und dort r im Exponenten geschrieben. Dieses r ist natürlich von dem in der Aufgabenstellung verschieden.
Ich wende die Bernoulliungleichung auf [mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n} [/mm] an.
Dort ist der Exponent [mm] \frac{n+1}{n}\geq1.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> > Dein Hinweis deckt also die Fälle 0 < r < 1 und -n<r<0
> nicht ab !
> Die Bezeichnung in meiner vorigen Mitteilung waren
> schlecht gewählt. Ich hatte die Bernoulliungleichung nur
> für den Fall reeller Koeffizienten [mm]\geq1[/mm] angegeben und
> dort r im Exponenten geschrieben. Dieses r ist natürlich
> von dem in der Aufgabenstellung verschieden.
>
> Ich wende die Bernoulliungleichung auf
> [mm]\left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}[/mm] an.
> Dort ist der Exponent [mm]\frac{n+1}{n}\geq1.[/mm]
Meine Güte ! Ich hab heute wirklich einen meiner Nicht-Durchblick - Tage. Du hast natürlich völlig recht.
Gruß FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Fr 18.11.2011 | | Autor: | saendra |
ihr habt mich jetzt aber auch verwirrt 
wo kann ich jetzt die bernouilli-ungleichung wie anwenden?
lg Sandra
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> ihr habt mich jetzt aber auch verwirrt
> wo kann ich jetzt die bernouilli-ungleichung wie
> anwenden?
Hallo,
mach doch mal das, was kamaleonti schrieb und wende die Bernoulli-Ungleichung auf [mm] (1+\bruch{r}{n+1})^{(n+1)/n} [/mm] an.
Was bekommst Du?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Fr 18.11.2011 | | Autor: | saendra |
entweder ich überseh grad was oder ich steh auf dem schlauch. ich hab also die bernoulli-ungleichung [mm] 1+nx\le (1+x)^n [/mm] und [mm] (1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1} [/mm] dann radiziert er mit n [mm] 1+\bruch{r}{n} \le (1+\bruch{r}{n+1})^{\bruch{n+1}{n}} [/mm] und hä ist versteh nicht was er gemacht hat...
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Hallo saendra,
> entweder ich überseh grad was oder ich steh auf dem
> schlauch. ich hab also die bernoulli-ungleichung [mm]1+nx\le (1+x)^n[/mm]
> und [mm](1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}[/mm] dann
> radiziert er mit n [mm]1+\bruch{r}{n} \le (1+\bruch{r}{n+1})^{\bruch{n+1}{n}}[/mm] und hä ist versteh nicht was er gemacht hat...
Dieser Artikel beinhaltet schon fast die vollständige Lösung.
Dort habe ich
[mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}\geq1+\frac{r}{n}
[/mm]
aus der Bernoulliungleichung gefolgert. Potenziert man diese Ungleichung (bei der beide Seiten positiv sind) mit n, so erhält man die Behauptung
[mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{n+1}\geq\left(1+\frac{r}{n}\right)^n.
[/mm]
LG
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