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| Aufgabe | | [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{d^{2}y}{dx^{2}} [/mm] im Punkt P(-1;1) für Funktion mit der implizierten Darstellung [mm] x^{2}y+3y-4=0 [/mm] bestimmen |
Hey!
Ich hab die Aufgabe jetzt wie folgt gelöst:
[mm] x^{2}y+3y-4=0 [/mm]
[mm] y=\bruch{4}{x^{2}+3} [/mm] //umgeformt in explizite Darstellung
[mm] f'(x)=-8x(x^{2}+3)^{-2} [/mm] // Ableitung mithilfe der Kettenregel
Quotientenregel für die zweite Ableitung:
u=-8x; u'=-8; [mm] v=(x^{2}+3)^{2}; v'=4x(x^{2}+3)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{24(x^{2}-1)}{(x^{2}+3)^{3}}
[/mm]
Ist die Aufgabe so richtig gelöst?
Was soll ich denn mit dem gegeben Punkt machen?
Lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 07.04.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] und [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] im Punkt P(-1;1)
> für Funktion mit der implizierten Darstellung
> [mm]x^{2}y+3y-4=0[/mm] bestimmen
> Hey!
>
> Ich hab die Aufgabe jetzt wie folgt gelöst:
>
> [mm]x^{2}y+3y-4=0[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{4}{x^{2}+3}[/mm] //umgeformt in explizite Darstellung
>
> [mm]f'(x)=-8x(x^{2}+3)^{-2}[/mm] // Ableitung mithilfe der
> Kettenregel
>
> Quotientenregel für die zweite Ableitung:
>
> u=-8x; u'=-8; [mm]v=(x^{2}+3)^{2}; v'=4x(x^{2}+3)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{24(x^{2}-1)}{(x^{2}+3)^{3}}[/mm]
>
> Ist die Aufgabe so richtig gelöst?
> Was soll ich denn mit dem gegeben Punkt machen?
was Du gemacht hast ist mathematisch nicht falsch, im Sinne des Aufgabenstellers war aber vermutlich, dass Du auch die Ableitung in impliziter Form angibst. Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Dann brauchst Du auch die Angabe eines Punktes, statt nur der Angabe einer x-Koordinate.
>
> Lieben Gruß
>
>
>
Gruß,
notinX
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Danke,
dann geben wir mal die Ableitungen in impliziter Form an:
Für die erste Ableitung:
[mm] \bruch{d}{dx}[F(x;y)]=\bruch{d}{dx}(x^{2}y+3y-4)=0
[/mm]
[mm] =2xy+x^{2}y'+3y'=0
[/mm]
[mm] y'=-\bruch{2xy}{x^{2}+3}
[/mm]
[mm] (y')_{P}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Für die zweite Ableitung:
[mm] =\bruch{d}{dx}(2xy+x^{2}y'+3y')=0
[/mm]
[mm] =2y+2xy'+2xy'+x^{2}y''+3y''=0
[/mm]
[mm] y''=-\bruch{2y+4xy'}{x^{2}+3}
[/mm]
[mm] (y'')_{P}=-\bruch{0}{4} [/mm] ???? Wie kann ich dieses Ergebnis interpretieren.
Ist die Aufgabe so richtig gelöst, bzw stimmen die Ergebnisse von mir?
Lieben Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 08.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke,
>
> dann geben wir mal die Ableitungen in impliziter Form an:
>
> Für die erste Ableitung:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}[F(x;y)]=\bruch{d}{dx}(x^{2}y+3y-4)=0[/mm]
>
> [mm]=2xy+x^{2}y'+3y'=0[/mm]
>
> [mm]y'=-\bruch{2xy}{x^{2}+3}[/mm]
>
> [mm](y')_{P}=\bruch{1}{2}[/mm]
Hier meinst Du wohl
[mm] y'(-1)=\bruch{1}{2}.
[/mm]
>
> Für die zweite Ableitung:
>
> [mm]=\bruch{d}{dx}(2xy+x^{2}y'+3y')=0[/mm]
>
> [mm]=2y+2xy'+2xy'+x^{2}y''+3y''=0[/mm]
>
> [mm]y''=-\bruch{2y+4xy'}{x^{2}+3}[/mm]
>
> [mm](y'')_{P}=-\bruch{0}{4}[/mm]
Hier meinst Du sicher
[mm]y''(-1)=-\bruch{0}{4}=0[/mm]
> ???? Wie kann ich dieses Ergebnis
> interpretieren.
Es ist halt [mm]y''(-1)=0[/mm]
>
> Ist die Aufgabe so richtig gelöst, bzw stimmen die
> Ergebnisse von mir?
Ja.
FRED
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> Lieben Gruß
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