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einen wunderschönen guten abemnd an alle mathenachtschwärmer! Hab da ein großés problem! Hoffentlich kann mir einer von euch helfen. Und zwar bei folgender aufgabe:
Gegeben seien endlich-dimensionale K-Vektorräume V,W über dem Körper K, eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W und die dazu duale lineare Abbildung [mm] f^{\*}: W^{\*} \to V^{\*}. [/mm] Zeigen Sie:
(a) [mm] rg(f^{\*}) [/mm] = rg(f)
(b) f injektiv [mm] \gdw f^{\*} [/mm] surjektiv
(c) [mm] f^{\*} [/mm] surjektiv [mm] \gdw [/mm] f injektiv
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich rechne dir jetzt mal eine der Teilaufgaben vor; die beiden anderen versuchst du dann bitte (nach ähnlichem Muster) selber, ja?
> (b) f injektiv [mm]\gdw f^{\*}[/mm] surjektiv
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Es sei [mm] $\varphi \in V^{\*}$ [/mm] beliebig vorgegeben. Weiterhin sei [mm] $(v_i)_{i=1,\ldots,n}$ [/mm] eine Basis von $V$. Da $f$ injektiv ist, ist die Familie [mm] $(f(v_i))_{i=1,\ldots,n}$ [/mm] in $W$ linear unabhängig. Ergänze diese (gegebenenfalls) zu einer Basis [mm] $(f(v_1),f(v_2), \ldots,f(v_n),w_{n+1},\ldots,w_m)$ [/mm] von $W$.
Definiere nun
[mm] $\psi(f(v_i)):=\varphi(v_i)$ $(i=1,\ldots,n)$,
[/mm]
[mm] $\psi(w_j):=0 \in [/mm] K$ [mm] $(j=n+1,\ldots,m)$,
[/mm]
und setze [mm] $\psi$ [/mm] linear fort. Dann gilt [mm] $\psi \in W^{\*}$, [/mm] und offenbar:
[mm] $f^{\*}(\psi) [/mm] = [mm] \psi \circ [/mm] f = [mm] \varphi$.
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Es seien $x,y [mm] \in [/mm] V$ mit $x [mm] \ne [/mm] y$ gegeben. Dann gibt es ein [mm] $\varphi \in V^{\*}$ [/mm] mit
[mm] $\varphi(x) \ne \varphi(y)$.
[/mm]
Da [mm] $f^{\*}$ [/mm] surjektiv ist, gibt es ein [mm] $\psi \in W^{\*}$ [/mm] mit [mm] $f^{\*}(\psi)=\varphi$, [/mm] woraus
[mm] $\psi(f(x)) [/mm] = [mm] f^{\*}(\psi)(x) [/mm] = [mm] \varphi(x) \ne \varphi(y) [/mm] = [mm] f^{\*}(\psi)(y) [/mm] = [mm] \psi(f(y))$
[/mm]
folgt. Dies aber bedeutet insbesondere: $f(x) [mm] \ne [/mm] f(y)$.
Viele Grüße
Julius
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