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Hallo zusammen!
Ich hab folgendes Problem: Gegeben ist ein Körper K mit einer diskreten Bewertung v:K [mm] \to \IZ [/mm] und die Menge [mm] A=\{a\in K | v(a) \ge 0 \}. [/mm] Es soll gezeigt werden, dass für den Quotientenkörper [mm] q(A)=\{\bruch{a}{b} | a,b \in A ; b\not=0\} [/mm] gilt: q(A)=K.
Das q(A) [mm] \subseteq [/mm] K ist nach Definition von A klar, aber die andere Inklusion bereitet Probleme. Ich bin muss doch zeigen, dass für jedes Element x [mm] \in [/mm] K gilt v(x) [mm] \ge [/mm] 0. Aber wie?
Liebe Grüße und Danke,
Graf_Zahl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Fr 20.04.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ich hab folgendes Problem: Gegeben ist ein Körper K mit
> einer diskreten Bewertung v:K [mm]\to \IZ[/mm] und die Menge
> [mm]A=\{a\in K | v(a) \ge 0 \}.[/mm] Es soll gezeigt werden, dass
> für den Quotientenkörper [mm]q(A)=\{\bruch{a}{b} | a,b \in A ; b\not=0\}[/mm]
> gilt: q(A)=K.
> Das q(A) [mm]\subseteq[/mm] K ist nach Definition von A klar, aber
> die andere Inklusion bereitet Probleme. Ich bin muss doch
> zeigen, dass für jedes Element x [mm]\in[/mm] K gilt v(x) [mm]\ge[/mm] 0.
Das kann nicht funktionieren, weil es nicht stimmt. Zeigen mußt du, daß jedes Element von K der Quotient von 2 Elementen mit positiver Bewertung ist. Denk mal daran, daß es in einem Körper so etwas wie Erweitern gibt. Und daß der Körper mindestens ein Element mit positiver Bewertung enthält.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Ich muss gestehen, dass ich das nicht verstehe...
Also sei x [mm] \in [/mm] K, dann muss ich zeigen, dass x=a/b mit [mm] v(a)\ge [/mm] 0 und [mm] v(b)\ge [/mm] 0, richtig?
Aber weiß immer noch nicht wie...
Gruß, Graf_Zahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 20.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Graf_Zahl!
> Ich muss gestehen, dass ich das nicht verstehe...
> Also sei x [mm]\in[/mm] K, dann muss ich zeigen, dass x=a/b mit
> [mm]v(a)\ge[/mm] 0 und [mm]v(b)\ge[/mm] 0, richtig?
Genau.
> Aber weiß immer noch nicht wie...
Dieter meinte, du sollst dir ein Element $c [mm] \in [/mm] K$ mit $v(c) > 0$ nehmen und erweitern, also etwa $x = a/b = (a [mm] c^n) [/mm] / (b [mm] c^n)$ [/mm] schreiben. Nun ist ja $v(a [mm] c^n) [/mm] = v(a) + n v(c)$ und $v(b [mm] c^n) [/mm] = v(b) + n v(b)$. Sprich, du musst $n$ gross genug waehlen...
LG Felix
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Hallo nochmal!
Wenn ich doch zeigen will, dass x=a/b ist, dann kan ich doch nicht damit anfangen. Oder kann ich das annehmen und muss dann nur zeigen, dass v(a) und v(b) nicht negativ sind?
Dann weiß ich aber trotzdem nicht weiter, denn wie sehe ich aus v(a [mm] c^n) [/mm] = v(a) + n v(c) dass v(a) [mm] \ge [/mm] 0 ?
LG, Vanessa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 20.04.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Vanessa!
> Wenn ich doch zeigen will, dass x=a/b ist, dann kan ich
> doch nicht damit anfangen. Oder kann ich das annehmen und
> muss dann nur zeigen, dass v(a) und v(b) nicht negativ
> sind?
Du fängst an mit x = x/1 und suchst dir ein c mit v(c) > 0 oder noch besser mit v(c) = 1. Wenn v(x) [mm] \ge [/mm] 0 ist bis du sowieso fertig. Sonst ist v(x) = -n. Dann erweiterst du x/1 mit [mm] c^{n}. [/mm] Der Nenner [mm] c^{n} [/mm] und der Zähler [mm] x*c^{n} [/mm] sind beide in A, wie Felix dir schon vorgerechnet hat.
Gruß
Dieter
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Hallo!
Also hier der Anfang meines Beweises:
Es sei x [mm] \in [/mm] K. Wähle c [mm] \in [/mm] K mit v(c)=1 (das existiert, weil v surjektiv ist) und sei n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Schreibe [mm] x=bruch{x}{1}=bruch{xc^n}{c^n}. [/mm]
[mm] v(c^n)=n [/mm] * v(c)=n [mm] \ge [/mm] 0 also [mm] c^n \in [/mm] A.
v(x * [mm] c^n)=v(x)+n. [/mm] Es gilt v(x)+n [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] v(x) [mm] \ge [/mm] -n.
Aber da weiß ich nicht weiter. Warum muss v(x) [mm] \ge [/mm] -n gelten?
LG.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 20.04.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Also hier der Anfang meines Beweises:
> Es sei x [mm]\in[/mm] K.
Muß heißen: Es sei x [mm]\in[/mm] K beliebig mit v(x) = r, r [mm] \in \IZ.
[/mm]
Ist r [mm] \ge [/mm] 0, dann liegt x = x/1 in Quot(A) und der Beweis ist zu Ende. Sonst ist r = -n mit einer natürlichen Zahl n.
> Wähle c [mm]\in[/mm] K mit v(c)=1 (das existiert,
> weil v surjektiv ist) und sei n [mm]\in \IN_{0}[/mm].
Das n ist jetzt nicht mehr beliebig, sondern festgelegt: Es ist die negative Bewertung des beliebigen x, mit dem ich angefangen habe.
> Schreibe
> [mm]x=bruch{x}{1}=bruch{xc^n}{c^n}.[/mm]
> [mm]v(c^n)=n[/mm] * v(c)=n [mm]\ge[/mm] 0 also [mm]c^n \in[/mm] A.
> v(x * [mm]c^n)=v(x)+n.[/mm] Es gilt v(x)+n [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] v(x) [mm]\ge[/mm] -n.
> Aber da weiß ich nicht weiter. Warum muss v(x) [mm]\ge[/mm] -n
> gelten?
Das muß nicht gelten, das gilt!
Wollen wir Feierabend machen?
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Graf_Zahl |
Ah okay, jetzt hab ich es auch verstanden.
Scheint so als bräuchte ich freitags nachmittags was länger 
Vielen Dank!
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