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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Di 15.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $X$ eine Menge, [mm] d(x,y)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn } x\neq y \\
0, & \mbox{wenn } x = y
\end{matrix}\right. [/mm]
Man zeige, dass $d$ die diskrete Topologie erzeugt. |
In dieser diskreten Metrik bestehen doch alle Kugeln vom Radius [mm] $\le [/mm] 1$ nur aus dem Mittelpunkt und alle Kugeln vom Radius $ > 1$ aus dem Gesamtraum $X $. Alle Untermengen von $X$ sind
sowohl offen als auch abgeschlossen.
Die diskrete Metrik erzeugt doch jetzt irgendwie ersichtlich die diskrete Topologie, in der [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] einfach die Menge aller Untermengen von $X$ ist (in der Sprache der Mengenlehre die
Potenzmenge [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] von $X$ ).
Was ist hier also noch weiter zu zeigen? Ich bin doch damit fertig, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]X[/mm] eine Menge, [mm]d(x,y)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn } x\neq y \\
0, & \mbox{wenn } x = y
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> Man zeige, dass [mm]d[/mm] die diskrete Topologie erzeugt.
> In dieser diskreten Metrik bestehen doch alle Kugeln vom
> Radius [mm]\le 1[/mm] nur aus dem Mittelpunkt und alle Kugeln vom
> Radius [mm]> 1[/mm] aus dem Gesamtraum [mm]X [/mm]. Alle Untermengen von [mm]X[/mm]
> sind
> sowohl offen als auch abgeschlossen.
>
> Die diskrete Metrik erzeugt doch jetzt irgendwie
> ersichtlich die diskrete Topologie,
Das ist es : was verstehst Du unter "irgendwie ersichtlich " ???
> in der [mm]\mathcal{O}[/mm]
> einfach die Menge aller Untermengen von [mm]X[/mm] ist (in der
> Sprache der Mengenlehre die
> Potenzmenge [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] von [mm]X[/mm] ).
>
> Was ist hier also noch weiter zu zeigen? Ich bin doch damit
> fertig, oder?
Na ja. Einen Beweis hast Du nicht abgeliefert.
Sei A [mm] \subseteq [/mm] X . Zeigen mußt Du: A ist offen im metr. Raum (X,d).
Ist A die leere Menge , so ist dies klar.
Sei also A nichtleer. Ist a [mm] \in [/mm] A, so mußt Du zeigen: es gibt ein r>0 mit:
(*) [mm] \{x \in X: d(x,a)
Nun erzähle mir, wie Du wohl r wählst, damit (*) gilt.
FRED
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