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Forum "Integration" - dirichlet funktion echte ungl.
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dirichlet funktion echte ungl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mi 25.01.2012
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
zeige, dass in der ungleichung

[mm] \integral_{}^{*}{(f+g) dx} \le \integral_{}^{*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{*}{g(x) dx} [/mm]  echte Ungleichheit auftreten kann.

huhu,
man sieht  es nicht so gut aber oben sind sternchen an den Integralen, sprich es ist wohl das Oberintegral gemeint.
habe heute in der Vorlesung erfahren dass man das mithilfe der Dirichletfunktion nachweisen kann.


[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases} [/mm]


mir ist klar, warum da Infimum 0 ist, aber stimmt es dass das sup 1 ist? und vor allem ich hab ja g und f in der formel, muss ich 2 mal die dirichlet funktion einsetzten oder wie mache ich das am besten?

        
Bezug
dirichlet funktion echte ungl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Mi 25.01.2012
Autor: kamaleonti

Hallo,
> zeige, dass in der ungleichung
>  
> [mm]\integral_{}^{\ast}{(f+g) dx} \le \integral_{}^{\ast}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{\ast}{g(x) dx}[/mm]  echte Ungleichheit auftreten kann.

> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]

Betrachte das Integral über das Intervall I=[0,1].
Zerlege [mm] \IQ\cap[0,1] [/mm] in zwei diskunkte in [mm] \IR [/mm] dichte Teilmengen A und B.
(Die Existenz einer solchen Zerlegung zu beweisen ist nicht schwer).

Definiere [mm] f(x):=1_A(x) [/mm] und [mm] g(x):=1_B(x), [/mm] dann ist offenbar f+g die Dirichletfunktion.

Weiterhin gilt

    [mm] 1=\integral_{I}^{\ast}{(f+g) dx} [/mm] < [mm] \integral_{I}^{\ast}{f(x) dx}+\integral_{I}^{\ast}{g(x) dx}=2. [/mm]


LG

Bezug
                
Bezug
dirichlet funktion echte ungl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Mi 25.01.2012
Autor: EvelynSnowley2311

ah supi danke^^

Bezug
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