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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Definiere Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] durch [mm] U= [/mm] und [mm] U'=.
[/mm]
Bestimmen sie alle V,V' [mm] \cap \IR^3 [/mm] mit [mm] \IR^3=U\oplus [/mm] V bzw. [mm] \IR^3=U' \oplus [/mm] V' |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, die Aufgabe scheint mir ganz einfach zu sein und zwar kommt bei mir einfach raus: V=<e2,e3> und [mm] V'=
[/mm]
wobei [mm] e_n [/mm] der einheitsvektor des [mm] \IR^3 [/mm] ist, der an der stelle n die 1 stehen hat und <> für den Span steht.
Ganz nebenbei noch ne kleine frage und zwar ist dieser Zusammen hang richitg, oder daraf da kein "=" hin:
[mm] =+
[/mm]
Gruß an alle.. Ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Fr 14.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
EDIT : Vorsicht : Hier steht Unsinn, diesen Beitrag bitte ignorieren
(bleibt aber stehen, damit folgende Beiträge nicht den Sinn verlieren^^)
Hallo,
>
> Hey Leute, die Aufgabe scheint mir ganz einfach zu sein und
> zwar kommt bei mir einfach raus: V=<e2,e3> und [mm]V'=[/mm]
>
> wobei [mm]e_n[/mm] der einheitsvektor des [mm]\IR^3[/mm] ist, der an der
> stelle n die 1 stehen hat und <> für den Span steht.
Ja, das sieht richtig aus - aber sei dir bewusst, dass du auch zeigen musst, dass dies alle V bzw V' sind... (also dass es keinen weiteren mehr gibt)
>
> Ganz nebenbei noch ne kleine frage und zwar ist dieser
> Zusammen hang richitg, oder daraf da kein "=" hin:
> [mm]=+[/mm]
also die linke Seite ist eine Ebene und die rechte Seite ist die Summe aus zwei Geraden (und damit noch nicht mal abgeschlossen)
Also wenn überhaupt muss es so heißen : [mm] $=\oplus /$
[/mm]
viele Grüße
und frohe Ostern
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
also für das "+" aus [mm] + [/mm] hatten wir die definition, dass man jedes element aus [mm] [/mm] mit jedem element aus [mm] [/mm] addiert.
das wäre dann doch [mm] \lambda*e_2 [/mm] + [mm] \mu*e_3 [/mm] für alle [mm] \lambda,\mu\in [/mm] K
= [mm] [/mm] oder?
und wegen der eindeutigkeit von V und V' könnte man dsa doch über die dim-Formelm machen oder?
dim [mm] \IR^3 [/mm] = dim U + dim V -(dim [mm] (U\cap [/mm] V)
(dim [mm] (U\cap [/mm] V)=0 sein, da laut def. [mm] U\cap [/mm] V = 0 sein muss.
also bleibt über: 3 = dim U + dim V da dim U=1
also dim V muss 2 sein.
also gesucht sind alle tupel von lin.unab. Vektoren der länge 3 die auch zu [mm] e_1 [/mm] lin.unab. sind.
und das sind halt nur [mm] (0,\lambda,0) [/mm] und [mm] (0,0,\mu)
[/mm]
kann man den letzten schritt vielleicht noch etwas formaler aufschreiben, ich denke da fehlt sicher ein zwischenschritt für die eindeutigkeit oder?
vielen dank im voraus und auch dir frohe ostern DaMenge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Fr 14.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> also für das "+" aus [mm]+[/mm] hatten wir die definition,
> dass man jedes element aus [mm][/mm] mit jedem element aus
> [mm][/mm] addiert.
Das ist auch richtig so, DaMenge hat da wohl was durcheinander gewirbelt ...
> das wäre dann doch [mm]\lambda*e_2[/mm] + [mm]\mu*e_3[/mm] für alle
> [mm]\lambda,\mu\in[/mm] K
> = [mm][/mm] oder?
Ja.
> und wegen der eindeutigkeit von V und V' könnte man dsa
> doch über die dim-Formelm machen oder?
Da behaupte ich auch dreist, DaMenges Antwort ist falsch! Wieso sollten die V, V' eindeutig sein? Da stand ja nichts vom orthogonalen Komplement, oder? Dann wirst du sehr viele VR finden, die komplementär liegen, zB für [m]e_1[/m] tut es auch [m][/m]. Man kann die blos auf gewisse Weise charakterisieren, mehr nicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal =)
zu dem eigentlich teil der aufgabe:
Gesucht sind ja die V für die gilt: [mm] \IR^3=U\oplus [/mm] V
und wenn man schreibt [mm] [/mm] hat man das U ja modifiziert und das ist glaub ich laut aufgabe nicht erlaubt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 14.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> und wenn man schreibt [mm][/mm] hat man das U ja
> modifiziert und das ist glaub ich laut aufgabe nicht
> erlaubt oder?
Das ist das V ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
aber wenn [mm] V= [/mm] ist und [mm] U= [/mm] dann liegt doch in der Schnitt auch e1 oder nicht?
[mm] =
[/mm]
[mm] \lambda_1 *e_1+\lambda_2*e_2*\lambda_3*e3=\lambda_4*e1
[/mm]
[mm] \lambda_1,\lambda_4=1 [/mm] und [mm] \lambda_2,\lambda_3=0 [/mm] bekommt man raus, dass [mm] e_1 [/mm] auch in deren schnitt liegt und es darf ja nur die 0 drin sein wegen der bedingung [mm] \IR^3=U\oplus [/mm] V oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
> aber wenn [mm]V=[/mm] ist und [mm]U=[/mm] dann liegt doch in
> der Schnitt auch e1 oder nicht?
>
> [mm]=[/mm]
> [mm]\lambda_1 *e_1+\lambda_2*e_2*\lambda_3*e3=\lambda_4*e1[/mm]
Du meinst [mm]\lambda_1 *e_1+\lambda_2*e_2+\lambda_3*e3=\lambda_4*e1[/mm], oder?
Nein, das stimmt nicht! Schau dir nochmal genau die Definition von [mm] $\langle e_1+e_2,e_3 \rangle$ [/mm] an! Das ist gerade die Menge [mm] $\{ \lambda_1 (e_1+e_2) + \lambda_2 e_3 \mid \lambda_1, \lambda_2 \in \IR \}$!
[/mm]
So. Und damit kannst du jetzt sehen, dass wenn [mm] $e_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 (e_1+e_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 e_3$ [/mm] sein soll, dann muss [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$ sein, also [mm] $e_1 [/mm] = 0$, Widerspruch. Also ist [mm] $e_1 \not\in \langle e_1+e_2,e_3\rangle$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
jo stimmt habe dummerweise [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] mit unterräumen verwechselt +g+
noch ne kleine frage und zwar sind doch alle V gesucht die vereinigt mit [mm] e_1 [/mm] eine Basis der [mm] \IR^3 [/mm] sind oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Fr 14.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> noch ne kleine frage und zwar sind doch alle V gesucht die
> vereinigt mit [mm]e_1[/mm] eine Basis der [mm]\IR^3[/mm] sind oder?
Nö, die 2-dim. UR deren Summe mit dem Unterraum [m][/m] den ganzen Raum bildet, oder die Räume, deren Basen sich durch [m]e_1[/m] zu einer Basis vom ganzen raum ergänzen lassen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
hab mich falsch formuliert, meinte das eigentlich +g+
gibts da irgendeinen trick um ALLE zu finden oder muss einfach stumpf suchen?
danke ari :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 14.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> gibts da irgendeinen trick um ALLE zu finden oder muss
> einfach stumpf suchen?
Tip: es sind unendlich viele. Ansonsten: viel Spaß beim Suchen!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 14.04.2006 | | Autor: | AriR |
ja das stimmt. aber man kann diese menge zusammenfassen und eine basis dafür angeben. also die frage sollte besser so lauten: gibt es einen trick dabei die basis dieser menge zu finden?
gruß ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Sa 15.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo an alle,
wie SEcki schon geschrieben hatte kann man dies nicht wirklich direkt machen.
Wenn U=<e1> , dann ist mit jeder Basisergänzung um b2 , b3 (, so dass (e1,b2,b3) Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist ) der Raum V=<b2,b3> einer der möglichen Kandidaten.
(Dies sind also alle Ebenen, die außer dem Nullpunkt keinen weiteren Punkt der x-Achse mehr enthalten.)
Ähnlich bei V' : dies sind eben alle Geraden, die nicht in der e1-e2-Ebene liegen (und durch den Nullpunkt gehen)
Das kann man jetzt evtl noch in symbolische Schreibweise überführen, aber das war's auch schon...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
ich hab mir jetzt um V zu berrechnen 2 Menge hergeleitet (fragt bitte nicht wie)
M := {(0,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)}
M' := {(0,1,0),(1,1,0),(0,1,1)}
wenn man [mm] M\times [/mm] M' berrechnet und dann den Span der Elemente jedes einzelnen Tupels mit [mm] e_1 [/mm] zusammen, dann erhält man man für jedes Tupel ein gesuchtes V. Das wären demnach 12 Basen für verschieden unterräume (bzw V)
Kommt das hin?
Für V' wäre das dann einfach der Span aus [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] mit jeweils einem element aus M'':={(001),(111),(011),(101)}
also ingsammt 4 Unterräume als V'
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Sa 15.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kann es sein, dass du versuchst SEcki's Beispiel einer weiteren Basisergänzung zu verallgemeinern und deshalb nur auf diese handvoll Basen kommst?
Versuche dir doch mal bildlich das mit den unendlich vielen Ebenen und der Geraden durch e1 vorzustellen.
Ich meine : selbst wenn man annimmt, dass die e2-Achse mit in V sein soll
(was man aber im allgemeinen hier nicht darf !!)
dann kann z.B (1,0, [mm] $\pi$ [/mm] ) , (0,1,0) eine Basis von V sein - oder sonst irgendwelche LinKombis, die du hier überhaupt nicht betrachtest..
es gibt wirklich unendlich viele verschiedene V ...
Bei V' ist die Sache sogar noch einfacher : V'=<v> , wobei [mm] $v\notin $ [/mm] beliebig gewählt werden darf
(offensichtlich unendlich viele Möglichkeiten)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:32 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
ja aber durch die ganzen spans die zusammen kommen wird doch jedes element auftauchen, was irgendwann in V vorkommt. Mehr als die Elemente die die ganzen Spans erzeugen gibt es doch nicht für V oder? wenn ja, hast du vielleicht ein Bsp für ein element?
man hat doch am ende dann zB sthen V=<..> und V=<>.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Sa 15.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
sorry, ich kann dir leider nicht mehr ganz folgen.
Versuch dich mal etwas mathematischer auszudrücken.
Wie würdest du denn mein bereits gegebenes Beispiel darstellen wollen?
(es taucht meienr Meinung nach nicht unter den 12 auf, wenn ich dich richtig interpretiert hatte)
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Sa 15.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> ja aber durch die ganzen spans die zusammen kommen wird
> doch jedes element auftauchen, was irgendwann in V
> vorkommt.
Präzisiere : zusammenkommen. Deine Beispiele oben sind nicht alle Ebenen - was soll wo zusammen kommen?
> Mehr als die Elemente die die ganzen Spans
> erzeugen gibt es doch nicht für V oder? wenn ja, hast du
> vielleicht ein Bsp für ein element?
Das Beispiel steht schon oben ... Was meinst du denn genau?
> man hat doch am ende dann zB sthen V=<..> und V=<>.....
Das ist absolut wirr! Bitte beschäftige dich jetzt erstmal selbst damit und versuche dann deine Probleme wenigstens so hinzuschreiben, dass man sie verstehen kann.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich weiß jetzt was ihr meint.
könnte man die [mm] V_i [/mm] vielleicht so angeben:
[mm] V_i=< [/mm] (0,0,1),(0,1,0) >+(i,0,0) [mm] i\in\IR [/mm] ??
gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Sa 15.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> das ist doch dann: [mm]=[/mm]
> oder nicht?
Ja sicher, deswegen ist ja [m]V=<(1,0,\pi),(0,1,0)>[/m] eine Möglichkeit.
> meine V würden dann zB so aussehen:
Deine V's sind immer der gesamte Raum, also alle gleich - und damit Unfug. Wenn du die [m]e_1[/m] entfernst, sind das alles beispiele - aber eben nicht alle - wie schon ein paar mal erwähnt! Beweise das obiges V in einem deiner V's drin ist, ansonsten ist es ein guter Kandidat dafür, dass es ein weiterer Unterraum ist.
> das wären demnach alle V die möglich sind.
Nein, immer noch nicht. Und begründen musst du das auch! Da fehlt so einfach alles (zumal es ja auch noch falsch war)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich weiß jetzt was ihr meint.
könnte man die vielleicht so angeben:
[mm] V_i=<(0,0,1),(0,1,0) [/mm] >+(i,0,0) ??
mit dem <(0,0,1),(0,1,0) > stellt man eine ebene auf, die die x-achse in einem punkt schneidet, und mit (i,0,0) lässt man diese über die ganze x-achse wandern, und für jeden "schritt" den die ebene geht, gibt es ein neues V also zusagen so viele V's wie es reelle Zahlen gibt oder?
danke ari
gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 15.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> ich glaube ich weiß jetzt was ihr meint.
Das glaube ich nicht. Bitte lies noch mal alles gut durch.
> [mm]V_i=<(0,0,1),(0,1,0)[/mm] >+(i,0,0)
Nein, das ist für wechselndes i tatsächlich immer derselbe Unterraum - warum musst du dir selbst überlegen.
> mit dem <(0,0,1),(0,1,0) > stellt man eine ebene auf, die
> die x-achse in einem punkt schneidet, und mit (i,0,0) lässt
> man diese über die ganze x-achse wandern,
was natürlich nichts mit der Aufgabe zu tun hat
> und für jeden
> "schritt" den die ebene geht, gibt es ein neues V also
Die ebene geht keine Schritte. Du musst eher von jedem Punkt der Ebene eine paralle zur x-Achse ziehen und diese mit den 0-Punkt verbinden, dann erhälst du schonmal einige (nicht alle!) Geraden.
> zusagen so viele V's wie es reelle Zahlen gibt oder?
Das stimmt zwar, aber aus ganz anderen Gründen ...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 Sa 15.04.2006 | | Autor: | AriR |
also sind doch sozusagen alle ebenen gesucht, die durch den 0-punkt gehen und [mm] \not= [/mm] der Tischebene (also der ebene die durch die x und y-achse defniert wird) sind irgendwie mathematisch angeben, und jede einezelne ebene davon wäre ein V oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 17.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Fr 14.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Ja, das sieht richtig aus - aber sei dir bewusst, dass du
> auch zeigen musst, dass dies alle V bzw V' sind... (also
> dass es keinen weiteren mehr gibt)
Imo nein - siehe mine Antwort.
> also die linke Seite ist eine Ebene und die rechte Seite
> ist die Summe aus zwei Geraden (und damit noch nicht mal
> abgeschlossen)
> Also wenn überhaupt muss es so heißen :
> [mm]=\oplus /[/mm]
Das ist eher grob falsch - das + wird hier (und auch sonst für Unterräume) so verwendet, wie Arir das geschrieben hat. [m]\oplus[/m] sagt darüber hinaus aus, dass die Räume zwingend nur die 0 im Schnitt haben. Man kann also, wenn [m]A\oplus B[/m] geschrieben steht das immer durch [m]A+B[/m] mit [m]A\cap B=\{0\}[/m] ersetzen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 14.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
klar - war totaler Quatsch - ich hatte wohl noch nicht genug Kaffe heut morgen...
Danke für die Korrektur und Geduld..
und Frohe Ostern
DaMenge
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