direkte Summe/ Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 15.01.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | K sei ein Körper und es sei der K-Vektorraum V direkte Summe zweier Untervektorräume [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2, [/mm] d.h. [mm] V=V_1\oplus V_2.
[/mm]
Zeige, dass es einen Isomorphismus der K_Vektorräume [mm] V_1 [/mm] und [mm] V/V_2 [/mm] gibt.
Gilt dies auch, wenn die Summe nicht direkt ist, d.h. wenn [mm] V=V_1+V_2 [/mm] mit [mm] V_1\cap V_2\not={0}? [/mm] |
Könnt ihr mir helfen diese Aufgabe zu lösen?
Beim Isomorphismus muss ich zeigen: bijektiv und ein Homomorphismus liegt vor.
[mm] V_1 [/mm] ist klar aber was ist [mm] V/V_1? [/mm] Das müsste doch [mm] V_2 [/mm] sein, richtig?
LG heinze
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> K sei ein Körper und es sei der K-Vektorraum V direkte
> Summe zweier Untervektorräume [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2,[/mm] d.h.
> [mm]V=V_1\oplus V_2.[/mm]
>
> Zeige, dass es einen Isomorphismus der K_Vektorräume [mm]V_1[/mm]
> und [mm]V/V_2[/mm] gibt.
> Gilt dies auch, wenn die Summe nicht direkt ist, d.h. wenn
> [mm]V=V_1+V_2[/mm] mit [mm]V_1\cap V_2\not={0}?[/mm]
> Könnt ihr mir helfen
> diese Aufgabe zu lösen?
Hallo,
das sollte klargehen.
>
> Beim Isomorphismus muss ich zeigen: bijektiv und ein
> Homomorphismus liegt vor.
>
> [mm]V_1[/mm] ist klar aber was ist [mm]V/V_1?[/mm] Das müsste doch [mm]V_2[/mm] sein,
> richtig?
Nein.
Und das merkst Du, wenn Du nun erstmal die Def. dieserMenge notierst, Dir anschaust, mit welchen Verknüpfungen das ein VR ist usw.
Danach, wenn Du die Zutaten kennst, kann man dann die Aufgabe bearbeiten.
LG Angela
>
>
>
> LG heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mo 16.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe dazu leider nichts in meinem Skript stehen.
Kann das der kanonsiche isomorphismus sein?
LG heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe dazu leider nichts in meinem Skript stehen.
Schau in Deinem Skript nochmal nach unter "Quotientenraum" oder "Faktorraum"
FREd
> Kann das der kanonsiche isomorphismus sein?
>
>
>
> LG heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mo 16.01.2012 | | Autor: | heinze |
Dazu habe ich auch nichts gefunden.
Auf diese Aufgabe gibt es auch kaum Punkte aber ich würde das trotzdem gerne hinbekommen.
Kannst du es mir erklären?
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dazu habe ich auch nichts gefunden.
> Auf diese Aufgabe gibt es auch kaum Punkte aber ich würde
> das trotzdem gerne hinbekommen.
>
> Kannst du es mir erklären?
>
Hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum
ist es ganz gut erklärt.
FRED
> LG heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 16.01.2012 | | Autor: | heinze |
Das habe ich verstanden, mein problem ist es auf die Aufgae anzuwenden.
Kannst du mir da vielleicht noch einen Tipp geben wie ich anfange?
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich verstanden, mein problem ist es auf die Aufgae
> anzuwenden.
>
> Kannst du mir da vielleicht noch einen Tipp geben wie ich
> anfange?
Die Elemente in [mm] V/V_2 [/mm] bezeichne ich mit [x] (x [mm] \in [/mm] V)
Definiere [mm] \Phi:V/V_2 \to V_1 [/mm] durch: ist x [mm] \in [/mm] V , so gibt es eindeutig bestimmte [mm] v_1 \in V_1 [/mm] und [mm] v_2 \in V_2 [/mm] mit: [mm] x=v_1+v_2. [/mm] Setze
[mm] \Phi([x]):=v_1
[/mm]
FRED
>
> LG heinze
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