direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 So 13.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
| Aufgabe | Man prüfe ob folgende Gleichungen gelten:
a) [mm] \IR^{4}=<(1,0,1,1),(-1,1,0,0)> \oplus [/mm] <(1,0,1,0)(1,1,1,1)>
b) [mm] \IR^{4}=<(1,0,1,1)(-1,1,0,0)> \oplus [/mm] <(1,0,1,0)(1,2,3,3)> |
Hallo :)
Ich bleibe momentan an dieser Aufgabe hängen und hoffe mir kann jemand helfen!
Wenn [mm] \IR^{4} [/mm] direkte Summe von v1=<(1,0,1,1),(-1,1,0,0)> und v2=<(1,0,1,0)(1,1,1,1)> ist muss gelten:
[mm] \IR^{4} [/mm] = v1+v2 = <(1,0,1,1),(-1,1,0,0),(1,0,1,0)(1,1,1,1)>
außerdem muss v1 [mm] \cap [/mm] v2 = {0}
nur wie zeige ich das?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 13.12.2009 | | Autor: | nooschi |
was du sicher weisst ist, dass dim([mm]\IR^{4}[/mm])=4. d.h. eine Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] muss aus 4 Vektoren bestehen. wenn du nun zeigen kannst, dass die 4 gegebenen Vektoren jeweils linear unabhängig sind, bedeutet das, dass sie eine Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] bilden. (Der Schnitt wie du oben geschrieben hast muss dann auch automatisch {0} sein, sonst wären sie ja linear abhängig)
Also, dh du musst zeigen:
a(1,0,1,1)+b(-1,1,0,0)+c(1,0,1,0)+d(1,1,1,1)=(0,0,0,0) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b=c=d=0
wenn das stimmt, stimmt die Gleichung der Aufgabe, wenn nicht, dann stimmt die Gleichung nicht
(b ist ja ganz analog)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 13.12.2009 | | Autor: | Jansen88 |
Danke nooschi für deine hilfreiche Antwort!
Ich habe es für a) und b) gerechnet und bekomme für a=b=c=d=0 heraus, demnach stimmen beide Gleichungen.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 13.12.2009 | | Autor: | nooschi |
nein, das stimmt nicht, die Vektoren von b sind linear abhängig:
[mm] a\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+c\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+d\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
a-b+c+d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] -b-2d=0
b+2d =0 [mm] \Rightarrow [/mm] b+2d=0
a+c+3d =0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
a+3d =0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=-3d
wähle zum Beispiel: a=3, b=2, c=0, d=-1
da nichttriviale Lösung [mm] \Rightarrow [/mm] linear abhängig
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