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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Di 05.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich habe hier eine Aufgabe mit Lösung. Allerdings kann ich leider die Lösung nicht ganz nachvollziehen. Ich weiß zwar, dass sie bestimmt ganz trivial ist, aber mir ist es nicht ganz einleuchtend.
Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum. Und seien [mm] U_{1}, U_{2}, U_{3} [/mm] Untervektorräume von V.
Es gelte V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3}
[/mm]
Zeige oder widerlege:
Ist V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3}, [/mm] so sind [mm] U_{1}, U_{2}, U_{3} [/mm] paarweise disjunkt.
Lösung:
Aussage ist richtig.
Denn sei x [mm] \in U_{1} \cap U_{2}. [/mm] Dann ist -x [mm] \in U_{2}. [/mm]
Und 0 = x+ (-x) +0 [mm] \in U_{1}+ U_{2} [/mm] + [mm] U_{3} [/mm] .
Wegen V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3} [/mm] ist diese Nulldarstellung trivial, insbesondere also x=0.
Analog beweist man, dass aus x [mm] \in U_{1} \cap U_{3} [/mm] oder x [mm] \in U_{2} \cap U_{3}, [/mm] folgt, dass x=0.
Meine Frage zu der Lösung wäre, warum -x [mm] \in U_{2} [/mm] ist? wie kommt man auf "-x"?
Und warum hat man bei der Nulldarstellung die Null als ein Element aus [mm] U_{3} [/mm] genommen?
Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir diese "Denklücke" füllen könntet. Danke!
Ciao!
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hi!
leider hast du nicht angegeben wie du die direkte summe def. hast, das werde ich kurz nachholen:
seien [mm] U_{1}...U_{k} [/mm] UVR von V, das ein endlichdimensionaler K-VR ist. man schreibt V = [mm] U_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_{k} [/mm] genau dann wenn i) V = [mm] U_{1} [/mm] + ... + [mm] U_{k} [/mm] und ii) [mm] (u_{1},...,u_{k}) [/mm] linear unabhängig für beliebige 0 [mm] \not= u_{i} \in U_{i}.
[/mm]
jetzt zu deiner lösung:
x [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] bedeutet: x [mm] \in U_{1} [/mm] und gleichzeitig x [mm] \in U_{2}. [/mm] da [mm] U_{2} [/mm] nach definition ein UVR ist, ist auch (-1)x=-x [mm] \in U_{2}.
[/mm]
es gilt ganz allgemein: 0=x+(-x)+0 mit x [mm] \in U_{1} [/mm] -x [mm] \in U_{2} [/mm] und 0 [mm] \in U_{3}. U_{3} [/mm] ist nach def. auch ein UVR und jeder VR enthält die 0 (oder sehe ich hier dein problem nicht?).
wegen [mm] V=U_{1} \oplus U_{2} \oplus U_{3} [/mm] ist die nulldarstellung trivial, d.h. ist [mm] u_{i} \in U_{i} [/mm] und [mm] u_{1} [/mm] + [mm] u_{2} [/mm] + [mm] u_{3} [/mm] = 0, so folgt [mm] u_{i}=0 [/mm] für alle i. das müsstet ihr als lemma oder satz gehabt haben, wenn nicht, frage nochmal nach. daraus folgt sofort, x=0.
man kann das aber auch sehen, ohne zu wissen, dass die nulldarstellung trivial ist. sei z.B. [mm] A=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine basis von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] B=(w_{1},...,w_{m}) [/mm] eine basis von [mm] U_{2} [/mm] und x wie oben. dann kann man x durch A aber auch durch B darstellen. daraus folgt:
[mm] a_{1}v_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}v_{n} [/mm] + [mm] (-b_{1})w_{1} [/mm] + ... + [mm] (-b_{m})w_{m} [/mm] = 0
alle vektoren in A und B sind aber lin unabhängig, also [mm] a_{i}=b_{j}=0 [/mm] für alle j und i. => x=0.
noch fragen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Di 05.04.2005 | | Autor: | VHN |
hallo!
danke für deine antwort.
ich hab es jetzt nachvollziehen kann.
ich hab vergessen, dass U ein Untervektorraum ist und es zu jedem x [mm] \in [/mm] U ein Inverses gibt.
Kurz gesagt, ich hab alle Unterraum Axiome vergessen bzw. vernachlässigt.
Danke!
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