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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Do 03.05.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | f(x,y,z)=(x+y+z,x+y+z,x+y+z)
Finde eine Ebene E und eine Gerade G mit [mm] \IR^{3}=E \oplus [/mm] G,
f(E) [mm] \subset [/mm] E, f(G) [mm] \subset [/mm] G und f nilpotent auf E |
Guten Abend.
Ich bins mal wieder, mit ener neuen Aufgabe und die macht mich wahnsinnig, da ich denke ich bin nicht mal so weit entfernt.. Na ja, ich hoffe es zumindest =)
Also ich brauche G [mm] \cap [/mm] E ={0} da habe ich natürlich zuerst an die Standardbasen gedacht. Für die würde ja auch die 2 Voraussetzung gelten nur bei der 3 dann nicht mehr.. Ich brauche also
f(E) in jordanscher Normalenform..
Ja und da stecke ich fest.. Ok von wegen ich bin nahe dran *ups*
Würde mich sehr übr Tipps freuen (auch zu so später Stund.. )
Mel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die Lösung ist eigentlich sofort ersichtlich, aber manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Gefragt ist ja nur nach einer Ebene E und einer Geraden G mit den geforderten Eigenschaften.
Ein kurzer Blick auf f sollte Dir einen eventuellen (trivialen) Kandidaten für die Ebene E liefern. (Weiterführender Tipp: f engeschränkt auf E kann ja ruhig die trivialste aller nilpotenten [linearen!] Abbildungen sein.)
Egal was für eine Gerade G mit $ [mm] \IR^{3}=E \oplus [/mm] $ G du dann nimmst, f(G) liefert immer ein bestimmtes Objekt und dieses Objekt ist Dein (kanonischer) Kandidat für G.
Nun kannst Du noch einmal ganz in Ruhe die geforderten Eigenschaften überprüfen ...
[Andere grundsätzliche Gedanken zu so einer Art von Aufgabe:
1) Welche Eigenschaft hat f?
2) Was ergibt sich aus 1) für f(G), G eine beliebige Gerade mit f(G) [mm] $\subset$ [/mm] G?
3) Was ergibt sich aus 1) für f(E), E eine beliebige Ebene mit f(E) [mm] $\subset$ [/mm] E?
usw. ...]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Meli90 |
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort, nur scheine ich nicht ganz so schnell zu sein.. :s
Also die einfachste nilpotente lineare Funktion ist f(x,y,z)=0 würde ich sagen.. Also brauche ich eine Ebene auf welche ich f anwenden kann, die dann 0 ergibt? Irgendwie sehe ich da keine sofortige Lösung..
Vorallem muss ja auch die eine Variable 0 sein, damit wir danach noch ein G finden mit gewünschter Eigenschaft.. Nicht?
Ich stehe ziemlich auf dem Schlauch..
Vielen Dank Mel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Fr 04.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Mel!
> Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort, nur scheine
> ich nicht ganz so schnell zu sein.. :s
> Also die einfachste nilpotente lineare Funktion ist
> f(x,y,z)=0 würde ich sagen..
Die einfachste von [mm] $K^3 \to K^3$, [/mm] ja.
> Also brauche ich eine Ebene
> auf welche ich f anwenden kann, die dann 0 ergibt?
Bzw. das es zu jedem $x [mm] \in [/mm] E$ ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^n(x) [/mm] = 0$ (also $n$-fache Anwendung von $f$). Sprich, alle solche $x$ liegen im verallgemeinerten Eigenraum von $f$ bzgl. dem Eigenwert $0$. (Damit es eine solche Ebene $E$ gibt, muss also die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts $0$ mindestens 2 sein.)
Rechne doch einfach mal den Eigenraum von $f$ zum Eigenwert 0 aus, also den Kern von $f$. Das liefert dir dann einen Kanidat fuer $E$ falls die Dimension [mm] $\ge [/mm] 2$ ist, oder zumindest schonmal den Anfang zur Berechnung des verallgemeinerten Eigenraums.
Die Funktion $f$ hat uebrigens noch einen weiteren Eigenwert (von Vielfachheit 1, womit der Eigenwert 0 genau die algebraische Vielfachheit 2 hat). Der Eigenraum dazu liefert dir die Gerade.
(PS: im Endeffekt musst du also doch die Jordansche Normalform ausrechnen. Daraus kannst du dann schnell $G$ und $E$ ablesen bzw. sagen ob es ueberhaupt solche $E$ und $G$ gibt.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Für allgemeine Überlegungen zu der Aufgabe ist es natürlich sinnvoll die JNF von f zu berechnen ...
Aber warum mit Kanonen auf Spatzen schiessen?!?
Bei der Aufgabe hilft sogar die triviale Schul-LA:
1) In f kannst Du eine Koordinatenform einer Ebene ablesen.
2) Nimm dann den Normalenvektor dieser Ebene als Richtungsvektor Deiner Geraden.
Kleine Zusatzaufgabe am Rande (zum Titel der Frage):
Zeige:
Für eine Gerade G und Ebene E in $ [mm] \IR^{3}$ [/mm] gilt:
$ [mm] \IR^{3}=E \oplus [/mm] G [mm] \gdw \IR^{3}=E [/mm] + G$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Fr 04.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für allgemeine Überlegungen zu der Aufgabe ist es natürlich
> sinnvoll die JNF von f zu berechnen ...
Die JNF ist hier eine Diagonalmatrix.
> Aber warum mit Kanonen auf Spatzen schiessen?!?
>
> Bei der Aufgabe hilft sogar die triviale Schul-LA:
>
> 1) In f kannst Du eine Koordinatenform einer Ebene
> ablesen.
> 2) Nimm dann den Normalenvektor dieser Ebene als
> Richtungsvektor Deiner Geraden.
Das geht i.A. nicht: es muss ja $f(G) [mm] \subseteq [/mm] G$ sein, und das klappt nur, wenn $G$ in einem Eigenraum liegt. Und ein beliebiger Vektor liegt im Allgemeinen nicht in einem Eigenraum. Man muss also schon explizit den anderen Eigenraum nehmen...
Sprich: alles was man berechnen muss ist das was man sowieso berechnet um die JNF der Matrix zu bestimmen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ich habe auch nichts gegenteiliges behauptet.
Ich sagte nur von anfang an, dass der Kern und damit der Eigenraum zum Eigenwert 0 von f ablesbar ist und ein möglicher Kandidat für die Ebene E ist.
Da f nicht die Nullabbildung ist, ist auch klar, dass jede Gerade G, die nicht im Kern von f liegt, auf eine Gerade abgebildet werden muss.
Dieses Bild f(G) ist dann ein möglicher Kandidat für G.
Bei all diesen Überlegungen muss ich gar nicht wissen, ob das ganze etwas mit der JNF zu tun hat oder auch nicht. Mehr wollte ich nicht sagen.
Und natürlich kommt auch heraus, dass f bzgl. einer Basis "entnommen aus E und G" Diagonalform hat. Diagonaleinträge: (0, 0, 3)
Ich brauche dabei aber weder ein charakteristisches Polynom berechnen, noch nach f-invarianten Räumen suchen, algebraische und geometrische Vielfachheiten vergleichen etc.
Und ich wiederhole mich auch gerne:
Dies ist KEIN allgemeiner Lösungsansatz für eine analoge Aufgabe ...
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Ich habe dieselbe Aufgabe und bin mir bei meinem Lösungsweg ziemmlich unsicher darum wollte ich mal euch fragen, was ihr dazu meint :)
Meine Abbildungsmatrix der Funktion sieht ja folgendermassen aus: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 &1 } [/mm] davon habe ich das charakteristische polynom gebildet mit dem Ergebnis P(t)=t²*(3-t) also bekomm ich die Eigenwerte [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] und [mm] \lambda_3=3
[/mm]
Dann hab ich gesagt da das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt kann eine Basis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix JNF hat.
Da hab ich dann einfach gedacht ich kann meine Abbildungsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] in JNF umschreiben also J(0,3) = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also hab ich gesagt sei E= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] dann hab ich diese Vektoren in eine Matrix gesteckt, dass sieht bei mir dann so aus: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] (ich hoffe, dass darf man so machen.)
Jetzt hab ich gesagt f(E)=J(0,3) * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] erneut auf f angewandt: [mm] J(0,3)*\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] also ist f(E) [mm] \subset [/mm] E und f ist nilpotent auf E.
Für die Gerade habe ich dann folgendes gemacht:
Sei G = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Auf G hab ich dann die Jordanmatrix mit dem Eigenwert [mm] \lambda=3 [/mm] verwendet, da dieser nur einmal vorkommt also J(3,3)
[mm] f(G)=J(3,3)*\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] also ist f(G) [mm] \subset [/mm] G
Ich hoffe jemand kann das mal durchschauen, denn ich glaube, dass ist doch recht schwammig argumentiert.
Danke auf jeden Fall schon im Vorraus.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Meine Abbildungsmatrix der Funktion sieht ja
> folgendermassen aus: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 &1 \\
1 & 1 &1 }[/mm]
Ja.
> davon habe ich das charakteristische polynom gebildet mit
> dem Ergebnis P(t)=t²*(3-t) also bekomm ich die Eigenwerte
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm] und [mm]\lambda_3=3[/mm]
Genau.
Dimensionen und Basen der Eigenräume?
Die brauchen wir.
>
> Dann hab ich gesagt da das charakteristische Polynom
> vollständig in Linearfaktoren zerfällt kann eine Basis
> gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix JNF hat.
Ja.
>
> Da hab ich dann einfach gedacht ich kann meine
> Abbildungsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 }[/mm]
> in JNF umschreiben also J(0,3) = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 &1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
Wie kommst Du auf diese JNF?
In jeglicher JNF stehen doch die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.
Gruß v. Angela
>
> Also hab ich gesagt sei E= [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
> dann hab ich diese Vektoren in eine Matrix gesteckt, dass
> sieht bei mir dann so aus: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
> (ich hoffe, dass darf man so machen.)
>
> Jetzt hab ich gesagt f(E)=J(0,3) * [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] erneut auf f
> angewandt: [mm]J(0,3)*\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] also ist
> f(E) [mm]\subset[/mm] E und f ist nilpotent auf E.
>
> Für die Gerade habe ich dann folgendes gemacht:
>
> Sei G = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
> Auf G hab ich dann die
> Jordanmatrix mit dem Eigenwert [mm]\lambda=3[/mm] verwendet, da
> dieser nur einmal vorkommt also J(3,3)
> [mm]f(G)=J(3,3)*\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 &1 \\
0 & 0 & 3 }[/mm] also ist f(G)
> [mm]\subset[/mm] G
>
> Ich hoffe jemand kann das mal durchschauen, denn ich
> glaube, dass ist doch recht schwammig argumentiert.
>
> Danke auf jeden Fall schon im Vorraus.
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