diophantische gleichungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Do 10.08.2017 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Beschreiben Sie alle Lösungen der folgenden linearen Diophantischen Gleichungen, sofern sie existieren. Lösen Sie die Aufgaben
a) $143x + 299y = 13. $
b) $6x + 10y + 15z = 0. $
c) $x + y + z = 0. $ |
a) $143x + 299y = 13. $
$ggt(299,143)=13 $
13|13 deshalb lösbar
bezout identität
$13=299*1-2*143 $,d.h dass unser [mm] $x_0=-2 [/mm] $ und [mm] $y_0=1 [/mm] $ ist. Da zufälligerweise der $ggt(299,143) $ ober der $13 $ gleicht, haben wir direkt eine spezielle lsg gefunden,die da [mm] $x_0=-2 [/mm] $ und [mm] $y_0=1 [/mm] $ ist.
nun beschreibe ich die Allgemeine Lösung durch [mm] $(x,y)=(x_0+\frac{b*t}{ggt(a,b)},y_0-\frac{a*t}{ggt(a,b)}| [/mm] t [mm] \in \IZ) [/mm] $ mit $a=143,b=299 $
also $ [mm] (x,y)=(x_0+\frac{b*t}{ggt(a,b)},y_0-\frac{a*t}{ggt(a,b)}| [/mm] t [mm] \in \IZ) =(-2+\frac{299*t}{13},1-\frac{143*t}{13}) [/mm] =(-2+23*t,1-11*t| t [mm] \in \IZ)$
[/mm]
b)
dies ist ja eine homogene diophantische gleichung
$6x + 10y + 15z = 0. $
$ggt(a,b,c)=ggt(ggt(a,b),c)$
$ggt(6,10,15)=ggt(ggt(6,10),15)=ggt(2,15)=1$
$1=15*1-14*6-7*10$
$1|0$ deshalb lösbar.
ich hab keine Ahnung wie ich jetzt vorgehen soll. Ich hab das hier schonmal ausgecheckt
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm , aber ich raff dieses Verfahren nicht. kann mir jemand bitte helfen?:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Do 10.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Brünner kannst du doch einfach deine Gleichung eingeben, "Erklärung generieren" ankreuzen und schon wird das schrittweise erklärt.
mach das mal und erzähle, was dabei unklar bleibt.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Fr 11.08.2017 | | Autor: | nkln |
Hi:)
es hat sich alles geklärt,ich hab ein wenig auf dem 'Schlau gestanden,ich hoffe ,dass du mir das nicht übel nimmst:)
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