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| Aufgabe | | mit hilfe des euklidischen divisionsalgorythmus bestimme man sämtliche lösungspaare (a,b) element aus Z² der diophantschen gleichung 3a+8b=100 |
also vorab: egal wie doof manche fragen hier vll zu seien scheinen, sie sind mein ernst und ich will niemanden veräppeln. es geht um die diophantische gleichung wie in der aufgabenstellung beschrieben.
und zwar wurd sie so vorgerechnet dass wir sie mit dem euklidischen divisionsalgorythmus lösten. der algorythmus an sich ist für mich nicht das problem. ich erinner mich mitbekommen zu haben dass sie gleichung nur lösbar ist, wenn der algorythmus zeigt das 1 der größte gemeinsame teiler von 3 und 8 ist. das wäre schon meine erste frage. ist das korrekt? gilt das immer, also diese bedingung oder wie ist das.
die durchführung schreibe ich weiterhin auf zur verdeutlichung meiner denkweise.
anwenden des algorythmus zur ggt bestimmung:
8=3*2+2
3=2*1+1---> zeigt das eins der ggt von 8 und 3 ist.
2=1*2+0
so damit wurde wiefolgt weiter gerechnet:
1=3-2*1 (1)
1=3-(8-3*2)*1 (2) die klammer nummerierung dient hier nur zum
1=3*3 -8*1 (3) besseren verständnis meiner gedanken
3*3+8*(-1)=1 auf beiden seiten mal 100
3*300+8*(-100)=100
nun wäre ja 300 mein wert für a und -100 mein wert für b
als lösung wurde aufgeschrieben:
(a,b) element aus {(300+8*k, -100-3*k); k element der ganzen zahlen}
gehe ich richtig in der annahme, dass:
in schritt (1) die zeile 3=2*1+1 welche den ggt enthält zu dem ggt umgestellt wurde?
dass in schritt (2) die oberste gleichung 8=3*2+2 zu dem rest 2 umgestellt wurde (2=8-3*2) und dieses für die 2 in schritt(2) eingesetzt wurde?
so...die letzte umformung von 1=3-(8-3*2)*1 zu 1=3*3-8*1 verstehe ich überhaupt nicht. wenn ich die klammer auflösen würde... würde bei mir stehen 1=1...da 3-(8-3*2)*1= 1 ist...
für jede hilfe dankbar, je einfacher oder sagen wir banaler erklärt desto besser. sehe da echt keinen sinn drin.
lg
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Hallo freak-club,
> mit hilfe des euklidischen divisionsalgorythmus bestimme
> man sämtliche lösungspaare (a,b) element aus Z² der
> diophantschen gleichung 3a+8b=100
> also vorab: egal wie doof manche fragen hier vll zu seien
> scheinen, sie sind mein ernst und ich will niemanden
> veräppeln. es geht um die diophantische gleichung wie in
> der aufgabenstellung beschrieben.
> und zwar wurd sie so vorgerechnet dass wir sie mit dem
> euklidischen divisionsalgorythmus lösten. der algorythmus
> an sich ist für mich nicht das problem. ich erinner mich
> mitbekommen zu haben dass sie gleichung nur lösbar ist,
> wenn der algorythmus zeigt das 1 der größte gemeinsame
> teiler von 3 und 8 ist. das wäre schon meine erste frage.
> ist das korrekt? gilt das immer, also diese bedingung oder
In diesem Fall ist das korrekt.
> wie ist das.
Die lineare diophantische Gleichung
[mm]u*x+v*y=w \ \ u,v,w \in \IZ[/mm]
hat nur dann ganzzahlige Lösungen,
wenn w durch den ggt von u und v teilbar ist.
>
> die durchführung schreibe ich weiterhin auf zur
> verdeutlichung meiner denkweise.
>
> anwenden des algorythmus zur ggt bestimmung:
>
> 8=3*2+2
> 3=2*1+1---> zeigt das eins der ggt von 8 und 3 ist.
> 2=1*2+0
>
> so damit wurde wiefolgt weiter gerechnet:
>
> 1=3-2*1 (1)
> 1=3-(8-3*2)*1 (2) die klammer nummerierung dient
> hier nur zum
> 1=3*3 -8*1 (3) besseren verständnis meiner
> gedanken
> 3*3+8*(-1)=1 auf beiden seiten mal 100
> 3*300+8*(-100)=100
> nun wäre ja 300 mein wert für a und -100 mein wert für
> b
> als lösung wurde aufgeschrieben:
> (a,b) element aus {(300+8*k, -100-3*k); k element der
> ganzen zahlen}
>
>
> gehe ich richtig in der annahme, dass:
> in schritt (1) die zeile 3=2*1+1 welche den ggt enthält
> zu dem ggt umgestellt wurde?
Ja.
> dass in schritt (2) die oberste gleichung 8=3*2+2 zu dem
> rest 2 umgestellt wurde (2=8-3*2) und dieses für die 2 in
> schritt(2) eingesetzt wurde?
Auch das ist korrekt.
>
> so...die letzte umformung von 1=3-(8-3*2)*1 zu 1=3*3-8*1
> verstehe ich überhaupt nicht. wenn ich die klammer
> auflösen würde... würde bei mir stehen 1=1...da
> 3-(8-3*2)*1= 1 ist...
Den Ausdruck in der Klammer darfst Du hier nicht ausrechnen.
Die Klammer ist so aufzulösen:
[mm]1=3-(8-3*2)*1=1=\blue{1}*3-(\blue{1}*8-3*2)=1*3-1*8+2*3=3*3-1*8[/mm]
>
> für jede hilfe dankbar, je einfacher oder sagen wir
> banaler erklärt desto besser. sehe da echt keinen sinn
> drin.
> lg
>
Gruss
MathePower
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ist das immer die vorgehensweise? also die reihe mit dem ggt zu dem umstellen und die erste reihe zum rest umstellen und in die reihe des ggt's einzusetzen und dann wie von dir/ihnen erklärt aufzulösen?
und kann ich jede diophantische gleichung so lösen?
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Hallo freak-club,
> ist das immer die vorgehensweise? also die reihe mit dem
> ggt zu dem umstellen und die erste reihe zum rest umstellen
> und in die reihe des ggt's einzusetzen und dann wie von
> dir/ihnen erklärt aufzulösen?
Ja, das ist immer die Vorgehensweise.
> und kann ich jede diophantische gleichung so lösen?
Ja.
Gruss
MathePower
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dann danke ich schonmal sehr für die überprüfung und vor allem die verdeutlichung der ausklammerung, habe allerdings noch eine letzte frage.
am ende schreiben wir:
(a,b) element aus {(300+8*k, -100-3*k)}; k element aus ganze zahlen.
um jetzt die lösungspaare zu finden...muss ich für k einfach eine ganze zahl einsetzen? oder wie geh ich da vor.?
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Hallo freak-club,
> dann danke ich schonmal sehr für die überprüfung und vor
> allem die verdeutlichung der ausklammerung, habe allerdings
> noch eine letzte frage.
>
> am ende schreiben wir:
> (a,b) element aus {(300+8*k, -100-3*k)}; k element aus
> ganze zahlen.
>
> um jetzt die lösungspaare zu finden...muss ich für k
Nun, das k durchläuft die ganzen Zahlen.
> einfach eine ganze zahl einsetzen? oder wie geh ich da
Wenn Du ein Lösungspaar haben willst, dann setze ein
beliebiges k aus den ganzen Zahlen ein.
> vor.?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 17.11.2010 | | Autor: | freak-club |
nun hab ichs verstanden alles insgesamt. ich danke dir vielmals. lg
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