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| Aufgabe | | Zeige: die Gleichung [mm] a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=c, a_{i} \in \IZ, [/mm] c [mm] \in \IZ [/mm] ist in [mm] \IZ [/mm] lösbar genauj dann,, wenn [mm] ggT(a_{1},..a_{n})|c. [/mm] Bestimme die Struktur der Lösungsmenge im Fall n=2. |
Hallöchen
so der Beweis der Aufgabe ist für mich kein Problem mir macht die Lösungsmenge nur gewisse Probleme.
Also ich habe nun folgendes gemacht.
Für die Gleichung [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=c [/mm] soll die Lösungsmenge bestimmt werden.
Zunächst habe ich [mm] a_{1}=da_{1}' [/mm] und [mm] a_{2}=da_{2}' [/mm] mit [mm] d=ggT(a_{1},a_{2}) [/mm] gesetzt.
Dann ist die homogene Gleichung [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=0
[/mm]
äquivalent zu
[mm] a_{1}'x_{1}=-a_{2}'x_{2}
[/mm]
Da nun [mm] a_{1}' [/mm] und [mm] a_{2}' [/mm] teilerfremd sind ist [mm] x_{1} [/mm] durch [mm] a_{2}' [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] durch [mm] a_{1}' [/mm] teilbar.
Sämtliche Lösungen der homogenen Gleichung sind also durch
[mm] x_{1}=ta_{2}' [/mm] und [mm] x_{2}=-ta_{1}' [/mm] für t [mm] \in \IZ [/mm] gegeben.
Durch Anwendung des euklidischen Algorithmus kann man Zahlen e,f bestimmen sodass [mm] a_{1}e+a_{2}f=d [/mm] mit [mm] d=ggT(a_{1},a_{2}) [/mm] erfüllt ist.
Setzt man dann noch [mm] s=\bruch{c}{d}, [/mm] so ist
[mm] x_{01}=se [/mm] und [mm] x_{02}=sf
[/mm]
eine Lösung der Gleichung [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=c.
[/mm]
Die Gesamtheit der Lösungen ist dann gegeben durch
[mm] x_{1}=x_{01}+ta_{2}' [/mm] und [mm] x_{2}=x_{02}-t a_{1}' [/mm] für t [mm] \in \IZ.
[/mm]
Meine Frage nun stimmt mein Vorgehen so?
Außerdem interessiert es mich ob man diese Aufgabe auch einfacher lösen könnte. Denn insgesamt gibt es für diese Aufgabe nur 2 Punkte und das finde ich ziemlich wenig für den gewissermaßen trivialen Beweis und der etwas anspruchsvolleren Bestimmung der Struktur.
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mi 02.11.2011 | | Autor: | donquijote |
Die Lösung sieht für mich gut uns und ich sehe auch nicht, wie man es einfacher machen könnte.
Ich finde den zweiten Teil auch nicht viel schwieriger als den ersten, ist halt nur etwas mühsam aufzuschreiben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Do 03.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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