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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mo 14.12.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Es sei K = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Der Hamming-Code C, ein Untervektorraum des K7, wird
definiert als Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix
H =
[mm] \pmat{ 0 & 1 &1&1&1&0&0\\ 1&0&1&1&0&1&0 \\1&1&0&1&0&0&1}
[/mm]
Berechnen Sie dimC. |
Hallo!
ich weiss was eine dimension ist (Anzahl ihrer m Zeilen und n Spalten.)
aber ihc weiss nicht, was ich tun muss um den hammingcode zu errechnen um dann die dimension davon zu bestimmen.
das angegebene gleichungssystem hat ja mehrere lösungen, kann ich das einfach lösen und dann bei der reduzierten zeilenstufenform elemente bestimmen?
oder wie bekomme ich ueberhaupt dann eine matrix mit der ich was anfangen kann?
kann mir da jemand helfen, bin echt ratlos°
lg
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mo 14.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei K = {0, 1} der Körper mit 2 Elementen. Der
> Hamming-Code C, ein Untervektorraum des K7, wird
> definiert als Lösungsmenge des homogenen linearen
> Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix
> H =
> [mm]\pmat{ 0 & 1 &1&1&1&0&0\\ 1&0&1&1&0&1&0 \\1&1&0&1&0&0&1}[/mm]
Da steht doch: $H = [mm] \{ v \in K^7 \mid H v = 0 \} [/mm] = [mm] \ker [/mm] H$.
Du sollst also die Dimension des Kerns der Matrix bestimmen.
Dann leg doch mal los...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 15.12.2009 | | Autor: | katjap |
hm, den kern der matrix h bestimmte ihc ja indem ich
h*x= 0
ich kann dasja mit dem gaussverfahren lösen und komme dann auf 4 freiheitsgrade.
ich habe ja dann fuer kern(h) eine lösung, mit 7 zeilen oder (weil jede x-komponente muss ja bestimmt sein)
und daher wäre dann die dimension des kerns 1x 7 = 7 oder lieg ich da falsch?
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Die Dimension gibt die Anzahl der freien Variablen an.
Wenn ich das homogene Gleichungssystem auf die reduzierte Zeilenstufenform bringe, dann lautet sie bei mir so:
[mm] \pmat{1&0&1&0&1&0&1 \\ 0&1&1&0&0&1&1 \\0&0&0&1&1&1&1 }
[/mm]
Das wiederum heißt ja: Es gibt drei abhängig Variablen (führende Einsen). Die restlichen (7-3=4) Variablen sind dann frei.
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] + [mm] x_7
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_6 [/mm] + [mm] x_7
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] x_5 [/mm] + [mm] x_6 [/mm] + [mm] x_7
[/mm]
eine Basis ist nun:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\\ x_7}=\vektor{1*x_1 + 1*x_5+ 0 *x_6 + 1*x_7 \\ 1*x_3 + 0*x_5 + 1*x_6 + 1*x_7\\ 1*x_3 + 0*x_5 + 0*x_6 +0*x_7\\ ... \\ 1*x_5 \\ 1*x_6 \\ 1*x_7}
[/mm]
jetzt nur noch [mm] x_3,x_5,x_6,x_7 [/mm] ausklammern. Dann hast du eine Basis. Und die Dimension ablesen wäre nun leicht.
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