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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - dimension VR und UVR
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dimension VR und UVR: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 So 15.05.2011
Autor: JigoroKano

Hallo Leute,

ich hätte mal ne Frage. Ich bin gerade dabei eine Übungsaufgabe zu lösen und da steht, dass wir:

dim V = dim U + dim W [mm] \gdw [/mm] V = U [mm] \oplus [/mm] W

benutzen dürfen. Mich würde jetzt interessieren was ist dieses [mm] \oplus [/mm] bedeutet und was diese Äquivalenz aussagt?

Beste Grüße und ein fettes Danke im Vorraus :-)

        
Bezug
dimension VR und UVR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 So 15.05.2011
Autor: JigoroKano

achso ganz vergessen, was mich daran so verwundert:

U, W sollen UVR sein... das ist was ich daran nicht verstehe :P> Hallo Leute,

>  
> ich hätte mal ne Frage. Ich bin gerade dabei eine
> Übungsaufgabe zu lösen und da steht, dass wir:
>  
> dim V = dim U + dim W [mm]\gdw[/mm] V = U [mm]\oplus[/mm] W
>  
> benutzen dürfen. Mich würde jetzt interessieren was ist
> dieses [mm]\oplus[/mm] bedeutet und was diese Äquivalenz aussagt?
>  
> Beste Grüße und ein fettes Danke im Vorraus :-)


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Bezug
dimension VR und UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 So 15.05.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo Leute,
>  
> ich hätte mal ne Frage. Ich bin gerade dabei eine
> Übungsaufgabe zu lösen und da steht, dass wir:
>  
> dim V = dim U + dim W [mm]\gdw[/mm] V = U [mm]\oplus[/mm] W
>  
> benutzen dürfen. Mich würde jetzt interessieren was ist
> dieses [mm]\oplus[/mm] bedeutet und was diese Äquivalenz aussagt?


Hallo,

[mm] V=U\oplus [/mm] W bedeute, daß V die direkte Summe von U und V ist.
Dies bedeutet: V=U+W und der Schnitt von U und W enthält nur den Nullvektor.

Die Äquivalenz sagt:

wenn man zwei Unterraume U und W von V hat, und die Summe ihrer Dimensionen gerade die Dimension von V ist, dann ist V die Summe dieser Untervektorräume, und die Summe ist direkt.
Und umgekehrt.

Nur leider ist die Richtung "==>" falsch.
Gibt es irgendwelche Voraussetzungen, die Du unterschlägst?

Gruß v. Angela



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dimension VR und UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 15.05.2011
Autor: JigoroKano

Das ist ja lustig, dann ist mal wieder ein unser zettel falsch?! :D :D

heißt das es gilt nur: dimV = dim U + dim W => V=U [mm] \oplus [/mm] W ?

Und weshalb gilt das?!

beste grüße :)

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dimension VR und UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 So 15.05.2011
Autor: kamaleonti

Moin,
> Das ist ja lustig, dann ist mal wieder ein unser zettel
> falsch?! :D :D
>  
> heißt das es gilt nur: dimV = dim U + dim W => V=U [mm]\oplus[/mm] W ?

Diese Richtung ist gerade diejenige, die nicht zwingend Gültigkeithaben muss.

Betrachte etwa [mm] U=W:=Span(e_1) [/mm] als Untervektorräume des [mm] \IR^2. [/mm]
Dann gilt [mm] $\dim\IR^2=2=\dim U+\dim [/mm] W=1+1$, aber offensichtlich nicht [mm] $V=U\oplus [/mm] W$, denn [mm] $U\oplus W=U\neq \IR^2$ [/mm]

>  
> Und weshalb gilt das?!
>  
> beste grüße :)

LG

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Bezug
dimension VR und UVR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 So 15.05.2011
Autor: angela.h.b.


> heißt das es gilt nur: dimV = dim U + dim W => V=U [mm]\oplus[/mm]W ?

Hallo,

wie mein Vorredner sagt: die umgekehrte Richtung gilt.

>  

> Und weshalb gilt das?!

Der Ball geht an Dich zurück. Das solltest Du zu beweisen versuchen.
Deine versuche schauen wir gerne an.

Gruß v. Angela



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