differnzierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Fr 05.01.2007 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | | Es sei y=y(x) viermal stetig differnzierbar und es gelte [mm] e^{y(x)}+x^2+xy(x)-1=0. [/mm] Man berechne [mm] y^{(4)}(0), [/mm] wenn y(0)=0 ist. |
also ich soll die funktion viermal ableiten. jetzt steht da ja, wenn y(0)=0 ist, also muss ich für y(x) in der funktion 0 schreiben, oder nicht? dann wäre doch [mm] e^0=1, [/mm] dann bliebe doch nur noch [mm] 1+x^2+0-1, [/mm] also [mm] x^2, [/mm] oder versteh ich das alles falsch????
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Nur für [mm]x=0[/mm] kennst du den Funktionswert. Keineswegs ist [mm]y[/mm] konstant 0! (vergleiche: [mm]y = x^2[/mm]; auch hier ist [mm]y(0)=0[/mm], dennoch gilt nicht [mm]y=0[/mm] für alle [mm]x[/mm])
Du mußt das nur geradeaus durchrechnen. Ich führe dir einmal den ersten Schritt vor.
Wenn man die bestehende Gleichung differenziert (Ableitungen nach [mm]x[/mm] kennzeichne ich durch einen Strich, die vorkommenden [mm]y,y'[/mm] usw. sind von [mm]x[/mm] abhängig), so erhält man:
(*) [mm]y' \operatorname{e}^y +2x + y + xy' = 0[/mm]
Und setzt du hier speziell [mm]x=0[/mm] ein, so erhältst du wegen [mm]y(0)=0[/mm]:
[mm]y'(0) \operatorname{e}^{y(0)} + 2 \cdot 0 + y(0) + 0 \cdot y'(0) = 0 \ \ \Rightarrow \ \ y'(0) = 0[/mm]
Und so geht das weiter. Du mußt jetzt (*) differenzieren und dann wieder [mm]x=0[/mm] einsetzen. Und dann nochmal und nochmal. Die Ausdrücke werden dabei immer komplizierter. Da heißt es: sich nicht aus dem Konzept bringen lassen und die Sache mit klarem Verstand durchziehen!
Ich habe erhalten: [mm]y'(0) = 0 \, , \ \ y''(0) = -2 \, , \ \ y'''(0) = 6 \, , \ \ y^{\text{IV}}(0) = -36[/mm]
Rechenfehler inbegriffen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Fr 05.01.2007 | | Autor: | blinktea |
super, danke!!!!
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