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Hallo zusammen. Ich habe mal eine ganz wichtige Frage bezüglich folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Fkt. [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} arctan\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \mbox{} \\ \bruch{\pi}{2}, & \mbox{für } x=0 \mbox{} \end{cases} [/mm] Bestimmen Sie f'(x) für alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die die Fkt. f diff'bar ist.
Leider macht mir das [mm] \not=0 [/mm] ein bischen sorgen. Ich weiß jetzt garnicht was ich, wo ich ja sonst immer mit links- und rechtsseitigen Grenzwert rangegangen bin, machen soll.
Ich bitte um Hilfe.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich denke, Dir ist klar, dass die Funktion für x $ [mm] \not=0 [/mm] $ differenzierbar ist und Du auch die Ableitung in solchen Punkten bestimmen kannst.
Der Fall x = 0:
für h $ [mm] \not=0 [/mm] $ betrachtest Du den Quotienten (f(h) - f(0))/h und schaust wie er sich für h gegen 0 verhält. Ist der Grenzwert vorhanden, so ist die Fkt. diff.-bar in 0 und der Grenzwert ist die Ableitung in 0.
FRED
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Ja das ist mir klar mit [mm] f'(x)=-\bruch{1}{x^2+1}, [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
gut aber wie läuft das jetzt mit der stetigkeit und diff'barkeit??? Hier ist ja nun die Stelle x=0 entscheidend. Und es heißt ja zur Stetigkeit, dass links und rechtsseitiger Grenzwert sowie der Funktionswert übereinstimmen müssen. Die Funktion ist dann dort diff'bar, wo sie auch stetig ist. Doch f(0) ist ja nicht definiert daher handelt es sich doch um [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] für x=0 um eine stetige Ergänzung oder nicht??? Also müssen der links und rechtsseitige Grenzwert von [mm] arctan\bruch{\pi}{2} [/mm] , für [mm] x\not=0 [/mm] mit [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] für x=0 übereinstimmen. Der arctan ist ja auf dem Intervall [mm] ]-\bruch{\pi}{2}^,\bruch{\pi}{2}[ [/mm] definiert kann ich daraus nicht irgendetwas ablesen???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo domenigge,
> Ja das ist mir klar mit [mm]f'(x)=-\bruch{1}{x^2+1},[/mm] für
> [mm]x\not=0[/mm]
>
> gut aber wie läuft das jetzt mit der stetigkeit und
> diff'barkeit??? Hier ist ja nun die Stelle x=0
> entscheidend. Und es heißt ja zur Stetigkeit, dass links
> und rechtsseitiger Grenzwert sowie der Funktionswert
> übereinstimmen müssen. Die Funktion ist dann dort diff'bar,
> wo sie auch stetig ist.
nein, die Funktion ist dort stetig, wo sie auch diff'bar ist (und man kann auch wegen der Kontraposition sagen, dass die Funktion nicht diff'bar ist, wo sie nicht stetig ist; die beiden Aussagen sind zueinander äquivalent). Deine Funktion ist mit Sicherheit auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] stetig (da auch diff'bar) und an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] ist sie nicht stetig (und damit kann sie dort auch nicht diff'bar sein).
> Doch f(0) ist ja nicht definiert
> daher handelt es sich doch um [mm]\bruch{\pi}{2},[/mm] für x=0 um
> eine stetige Ergänzung oder nicht???
Also bei mir ist die Funktion $x [mm] \mapsto \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] nicht stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ergänzbar wegen, grob gesagt: [mm] $\arctan(\infty)=\frac{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $\arctan(-\infty)=\,-\,\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
> Also müssen der links
> und rechtsseitige Grenzwert von [mm]arctan\bruch{\pi}{2}[/mm]...
Da verstehe ich auch - ehrlich gesagt - nicht, was Du wissen willst... ?!?!
Wie gesagt:
Deine Funktion ist unstetig in [mm] $x_0=0$. [/mm] Wer's immer noch nicht glauben will, schau' sich doch bitte mal den Graphen (für [mm] $x\not=0$) [/mm] an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nichtsdestotrotz:
Betrachte auch mal die gleiche Funktion $f$, wobei man dort nun [mm] $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] durch [mm] $\left|\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right|$ [/mm] ersetze. Überlege Dir, wie hier $f'(x)$ für $x [mm] \not=0$ [/mm] aussieht und überlege Dir mit Freds Hinweis, dass diese Funktion $f$ dann auch nicht diff'bar in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist (wohl aber ist diese dann stetig in [mm] $x_0=0$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo domeniggue,
> Hallo zusammen. Ich habe mal eine ganz wichtige Frage
> bezüglich folgender Aufgabe:
>
> Gegeben sei die Fkt. [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\begin{cases} arctan\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \mbox{} \\ \bruch{\pi}{2}, & \mbox{für } x=0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> Bestimmen Sie f'(x) für alle x [mm]\in \IR,[/mm] für die die Fkt. f
> diff'bar ist.
>
> Leider macht mir das [mm]\not=0[/mm] ein bischen sorgen. Ich weiß
> jetzt garnicht was ich, wo ich ja sonst immer mit links-
> und rechtsseitigen Grenzwert rangegangen bin, machen soll.
>
> Ich bitte um Hilfe.
Freds Antwort ist zweifellos korrekt und Du kannst auch mit seinen Überlegungen zum richtigen Ergebnis gelangen (und solltest das auch mal so durchrechnen, einfach der Übung wegen). Es geht aber einfacher:
Welche Werte haben denn hier
[mm] $$\lim_{x \to 0^{+}} f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ mit x > 0}} [/mm] f(x)$$
und
[mm] $$\lim_{x \to 0^{-}} f(x)=\lim_{x \to 0 \mbox{ mit x < 0}} [/mm] f(x)$$
und was sagt uns das über die Stetigkeit von $f$ im Punkte [mm] $x_0=0$?
[/mm]
(Beachte: Ist eine Funktion differenzierbar in einem Punkt, so ist so dort insbesondere stetig.)
P.S.:
Übrigens würde der Weg mit der Stetigkeit in [mm] $x_0=0$ [/mm] versagen, wenn man oben in der Definition von $f$ anstelle von [mm] $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] dort [mm] $\left|\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right|$ [/mm] stehen hätte, und dann wäre Freds Weg angebracht. (Was nicht heißt, dass er hier nicht gehbar sei.)
P.P.S.:
Hast Du $f'(x)$ (für $x [mm] \not=0$) [/mm] schon berechnet und wie sieht Dein Ergebnis dafür aus?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Wozu betrachtest Du hier die einseitigen Grenwerte von f in 0 ?
Die Funktion ist in 0 stetig. In der Aufgabe geht es um Differenzierbarkeit.!!!!
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wozu betrachtest Du hier die einseitigen Grenwerte von f in
> 0 ?
>
> Die Funktion ist in 0 stetig. In der Aufgabe geht es um
> Differenzierbarkeit.!!!!
die Funktion ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] unstetig. Es ist
$$
[mm] \lim_{x \to 0^+}\,f(x)=\frac{\pi}{2} \not=\lim_{x \to 0^-}\,f(x)=\,-\,\frac{\pi}{2}
[/mm]
$$
Also kann man $x [mm] \mapsto \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] nicht stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortsetzen (weil man sie nicht stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] bekommt), damit kann auch die obige Fortsetzung nicht stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] sein und damit insbesondere auch nicht differenzierbar in [mm] $x_0=0$ [/mm] sein.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fred97 |
O.K., Du hast recht ! Ich hab nicht genau hingeschaut !
FRED
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