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differenzierbarkeit?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Sa 20.01.2007
Autor: CPH

Aufgabe
Seien [mm] f_1 [/mm] (x) , ... [mm] f_m [/mm] (x) : I [mm] \to \IC [/mm] differenzierbare Funktionen auf einem nichttrivialem Intervall I (Mehr als ein Punkt im Intervall).

f:= [mm] \produkt_{j=1}^{m} f_j [/mm] besitzt keine Nullstelle in I. Zeige dass gilt:



[mm] \bruch{f'}{f}= \summe_{j=1}^{m}\bruch{f'_j}{f_j} [/mm]

ich verstehe diese Aufgabe nicht so ganz, ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich anfangen soll, habt ihr vielleicht nen tipp?

MFG

CPH

        
Bezug
differenzierbarkeit?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Sa 20.01.2007
Autor: Leopold_Gast

Da [mm]f[/mm] nullstellenfrei ist, sind auch die [mm]f_j[/mm] nullstellenfrei (Produkt). Gehe in der Gleichung zu den Beträgen über, beachte die Verträglichkeit des Betrags mit der Multiplikation und logarithmiere die Gleichung. Der Logarithmus eines Produktes entspricht aber der Summe der Logarithmen (Logarithmusgesetz). Ableiten liefert dir dann sofort das Gewünschte. Stichwort: Logarithmische Ableitung.

Alternativ kannst du auch die Produktregel anwenden. Für drei Faktoren [mm]u,v,w[/mm] etwa lautet die

[mm]\left( uvw \right)' = u'vw + uv'w +uvw'= uvw \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w} \right)[/mm]

Und für [mm]m[/mm] Faktoren geht das analog.

Bezug
                
Bezug
differenzierbarkeit?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 So 21.01.2007
Autor: CPH

Vielen Dank, das ist jetzt klar!

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