diffbarkeit nachweisen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 So 12.12.2010 | | Autor: | dar |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung:
f: [mm] R^{2} \to R^{3}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{y-x^{3} \\ y \\ x}
[/mm]
Zeigen mittels der Definition der Diffbarkeit, dass f diffbar ist und für die Ableitung von f gilt:
f´(x,y) [mm] =\pmat{ -2*x & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Ich komme bei dieser Aufgabe zu einem komischen Ergebnis und nämlich, dass f undiffbar ist.
Meine Rechnug:
[mm] Feher/|\Delta\vec{k}| [/mm] = [mm] |f(\vec{k}+\Delta\vec{k})- f(\vec{k})-f´(\vec{k})*\Delta\vec{k}|/|\Delta\vec{k}|
[/mm]
[mm] Feher/|(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})| [/mm] = [mm] |\vektor{y-x^{3}+\Delta y-\Delta x^{3} \\ y +\Delta y\\ x+\Delta x} [/mm] - [mm] \vektor{y-x^{3} \\ y \\ x} [/mm] - [mm] \pmat{ -2*x & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 } *(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|/|(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})| [/mm] = | [mm] \vektor [/mm] { [mm] \Delta [/mm] y [mm] -\Delta x^{3} \\ \Delta y\\ \Delta [/mm] x} - [mm] \vektor{Delta y-2*x* \Delta x \\ \Delta y\\ \Delta x}|/ |(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|= |\vektor{(\Delta x)^{3} -2*x* \Delta x \\ 0\\ 0}/ \wurzel{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}
[/mm]
Kann ich das kürzen, so dass es alles gegen 0 konvergiert?
Danke allen vorab
Dar
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Hallo dar,
> Gegeben sei die Abbildung:
> f: [mm]R^{2} \to R^{3}[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{y-x^{3} \\ y \\ x}[/mm]
>
> Zeigen mittels der Definition der Diffbarkeit, dass f
> diffbar ist und für die Ableitung von f gilt:
> f´(x,y) [mm]=\pmat{ -2*x & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Dann müßte f so definiert sein:
[mm]f:R^{2} \to R^{3}, \ \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{y-x^{\blue{2}} \\ y \\ x}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe zu einem komischen Ergebnis
> und nämlich, dass f undiffbar ist.
> Meine Rechnug:
> [mm]Feher/|\Delta\vec{k}|[/mm] = [mm]|f(\vec{k}+\Delta\vec{k})- f(\vec{k})-f´(\vec{k})*\Delta\vec{k}|/|\Delta\vec{k}|[/mm]
>
> [mm]Feher/|(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|[/mm] =
> [mm]|\vektor{y-x^{3}+\Delta y-\Delta x^{3} \\ y +\Delta y\\ x+\Delta x}[/mm]
> - [mm]\vektor{y-x^{3} \\ y \\ x}[/mm] - [mm]\pmat{ -2*x & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 } *(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|/|(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|[/mm]
Hier muss Du schon rechnen:
[mm]|\vektor{\left(y+\Delta y\right)-\left(x+\Delta x\right)^{3} \\ y +\Delta y\\ x+\Delta x}
-\vektor{y-x^{3} \\ y \\ x} - \pmat{ -2*x & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 } *(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|/|(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|[/mm]
> = | [mm]\vektor[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\Delta[/mm] y [mm]-\Delta x^{3} \\ \Delta y\\ \Delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> x} - [mm]\vektor{Delta y-2*x* \Delta x \\ \Delta y\\ \Delta x}|/ |(\Delta\vec{x},\Delta\vec{y})|= |\vektor{(\Delta x)^{3} -2*x* \Delta x \\ 0\\ 0}/ \wurzel{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}[/mm]
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> Kann ich das kürzen, so dass es alles gegen 0
> konvergiert?
> Danke allen vorab
> Dar
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 12.12.2010 | | Autor: | dar |
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Differenzierbarkeit für Funktionen [mm] f:\IR^n\to\IR [/mm] ist ja wie folgt definiert:
[mm] f(x+h)=f(x)+A\cdot{h}+r(h) [/mm] wobei A eine stetige linear Abbildung ist und r(h) eine Funktion mit [mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\br{r(h)}{\parallel{h}\parallel}=0
[/mm]
Die Ableitung f'(x) ist dann durch f'(x)=A definiert.
[mm] f(x+h)-f(x)=\vektor{h_2-3*x^2*h_1-3*x*h_1-h_1^3 \\ h_2 \\ h_1 } [/mm] wenn [mm] h=\vektor{h_1 \\ h_2} [/mm] ist. Also
[mm] f(x+h)-f(x)=A\cdot{h}+\vektor{3*x*h_1^2-h_3 \\ 0 \\ 0 } [/mm] mit [mm] A=\pmat{ -3x^2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] und Du bist fertig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 12.12.2010 | | Autor: | dar |
danke
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