diagonalisierbare matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 04.05.2006 | | Autor: | thw |
| Aufgabe | zeigen sie das A diagonalisierbar ist: (über IR)
1 0 0 0
0 2 0 0
0 -3 4 -3
0 -3 2 -1
|
also es heißt ja, das wenn A diagonalisierbar ist, das charakteristische polynom n nulstellen hat.
d.h. in einem vektorraum der dimension n, natürlich.
ich hab die nullstellen 1 und 2 aber jeweils doppelt.
theoretisch sind das doch nur 2 nulstellen und nicht 4, oder?
ich vermute aber das es 4 eigenvektoren gibt, wie berechne ich den die "anderen" zwei?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Do 04.05.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Also im Prinzip sind ja die Eigenwerte deiner Matrix genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also in deinem Falle die Werte, die du bereits ausgerechnet hast. Beide haben jeweils die algebraische Vielfachheit 2,würden also in der Diagonlamatrix D jeweils doppelt vorkommen, damit hast du im Prinzip schon alle deine Eigenwerte bestimmt.
liebe Grüße
Franzie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 04.05.2006 | | Autor: | thw |
ja ich hab dann vier eigenwerte wobei je 2 gleich sind, aber es sind ja deswegen trotzdem nur 2 nullstellen.
als ist n=nullstellen=2 kleiner als n=dimension von V=4.
also die algebraische vielfachheit ist ja 4 aber eigentlich gibt es nur zwei nullstellen..
aber noch viel wichtiger ist wie berechne ich im endeffekt vier eigenvektoren aus nur zwei eigenwerten?
was ist denn die geometrische vielfachheit?
ist das einfach die dimension des vektorraums, oder spielen die eigenwerte da eine rolle?
|
|
|
| |
|
Hallo thw,
wenn du zwei Eigenwerte hast, die je zwei mal vorkaommen dann zählt das trotzdem (mit Vielfachheiten gezählt) als 4 Eigenwerte, die halt nur nicht paarweise verschieden sind, denn sonst wärst du ja auch schon fertig.
Da deine algebraischen Vielfachheiten 2 sind, musst du die Eigenräume betimmen. Deren Dimension sind die geometrischen Vielfachheiten. Wenn die je mit den algebraischen übereinstimmen, ist die Matrix diagonalisierbar.
Wie berechnet man nun diese Eigenräume, wirst du dich fragen. Ganz einfach: die Eigenräume werden von den Eigenvektoren aufgespannt. Da du nur zeigen sollst, dass A diagonalisierbar ist, musst du nicht einmal die Eigenvektoren ausrechnen. Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist nämlich [mm] ker(A-\lambda [/mm] E) und dafür musst du nur den Rangdefekt (also [mm] n-Rang(A-\lambda [/mm] E)) berechnen. Das ist dann die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm]
|
|
|
| |
|
Ich hoffe, ich konnte dir weiter helfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Fr 05.05.2006 | | Autor: | thw |
ja klasse!!! vielen dank nochmal
|
|
|
|
