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| Aufgabe | Sei
[mm] A=\begin{pmatrix}
4 & a \\
0 & 4
\end{pmatrix}
[/mm]
Wählen Sie [mm] a\in [/mm] R so, dass A: [mm] C^2 \rightarrow C^2
[/mm]
a.) zwei linear unabhängige Eigenvektoren hat
b.) höchstens einen linear unabhängigen Eigenvektor hat. |
Hallo,
es muss ja gelten
[mm] \begin{pmatrix}
4 & a \\
0 & 4
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
[/mm]
= 4x+ay= kx
0x+4y= ky
wie kann ich jetzt weitermachen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Student89,
> Sei
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> [mm]A=\begin{pmatrix}
4 & a \\
0 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wählen Sie [mm]a\in[/mm] R so, dass A: [mm]C^2 \rightarrow C^2[/mm]
>
> a.) zwei linear unabhängige Eigenvektoren hat
> b.) höchstens einen linear unabhängigen Eigenvektor
> hat.
> Hallo,
>
> es muss ja gelten
> [mm]\begin{pmatrix}
4 & a \\
0 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
>
> = 4x+ay= kx
> 0x+4y= ky
>
> wie kann ich jetzt weitermachen?
Die Matrix A hat doch einen bestimmten Eigenwert,
Für das k setzt Du diesen Eigenwert ein,
und löst dann das entstehende Gleichungssystem.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Wie bestimme ich den Eigenwert der Matrix A. Mit det(A-kI)?
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Hallo Student89,
> Wie bestimme ich den Eigenwert der Matrix A. Mit det(A-kI)?
Ja, das ist der übliche Weg: mit [mm] $\operatorname{det}(A-kI)$ [/mm] das charakt. Polynom [mm] $\chi(k)$ [/mm] aufstellen und die Nullstellen desselben bestimmen.
Hier kannst du aber die Eigenwerte auch einfach direkt ablesen (bzw. den Eigenwert ..)
Warum? Und welche(r) sind (ist) es?
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
wie bestimme ich det(A-kI)= (4-k)(4-k)? Da fehlt aber noch was.
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> wie bestimme ich det(A-kI)= (4-k)(4-k)? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Da fehlt aber noch
> was.
Es ist [mm] $\chi(k)=(4-k)(4-k)$ [/mm] das charakteristische Polynom.
Dessen Nullstellen kannst du doch ablesen: [mm] $k_1=..., k_2=...$
[/mm]
Das sind deine Eigenwerte (bzw. ist dein doppelter EW)
Das dann oben in das Gleichungssystem einsetzen ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Der Eigenwert ist 4. Aber wenn ich 4 in die Gleichungen einsetze, kann ich a, x, y selbst frei wählen. Wenn ich z.B a=1 einsetze, bekomme ich linear abhängige Eigenvektoren.
So komme ich nicht auf die Lösung.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> Der Eigenwert ist 4.
Richtig!
> Aber wenn ich 4 in die Gleichungen
> einsetze, kann ich a, x, y selbst frei wählen. Wenn ich
> z.B a=1 einsetze, bekomme ich linear abhängige
> Eigenvektoren.
> So komme ich nicht auf die Lösung.
Wie sieht denn das Gleichungssystem aus?
1) $4x+ay=4x$
2) $0x+4y=4y$
Also
1') $ay=0$
2') $0=0$
Eine Lösung hängt also schonmal gar nicht von $x$ ab.
Wie sieht es nun mit der Lösbarkeit in Abh. von a aus?
Was ist, wenn $a=0$?, was wenn [mm] $a\neq [/mm] 0$ ?
Gruß
schachuzipus
>
> Gruß
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Hallo,
Bei a=0 gibt es unendlich viele Lösungen.Bei a [mm] \ne [/mm] 0 ist y=0. Also d.h. für a=0 bekomme ich 2 linear unabhängige Eigenvektoren.Aber nicht nur.Nach der Aufgabe ist es doch ok, weil in der Aufgabe steht nicht höchstens 2 linear unabhängige Eigenvektoren.Oder? Für a= 2 bekomme ich z.B 2 linear abhängige Eigenvektoren. Ich weiß nicht, welchen Wert a haben muss, um höchstens einen linear unabhängigen Eigenvektor zu bekommen.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> Bei a=0 gibt es unendlich viele Lösungen.
Ja, auch bei [mm]a\neq 0[/mm]
> Bei a [mm]\ne[/mm] 0 ist y=0.
> Also d.h. für a=0 bekomme ich 2 linear unabhängige
> Eigenvektoren.
Ja, da sind [mm]x,y[/mm] völlig beliebig wählbar, also etwa [mm]x=s, y=t[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Dann ist ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x\\
y}[/mm] von der Form [mm]\vektor{s\\
t}=s\cdot{}\vektor{1\\
0}+t\cdot{}\vektor{0\\
1}[/mm]
Für [mm]s,t\neq 0[/mm] hast du so 2 linear unabh. Eigenvektoren, etwa für [mm]s=t=1[/mm] die Vektoren [mm]\vektor{1\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\
1}[/mm]
Aber auch für [mm]s=\pi[/mm] und [mm]t=\sqrt{2}[/mm] bekommst du 2 lin. unabh. EVen 
> Aber nicht nur.Nach der Aufgabe ist es doch
> ok, weil in der Aufgabe steht nicht höchstens 2 linear
> unabhängige Eigenvektoren.Oder? Für a= 2 bekomme ich z.B
> 2 linear abhängige Eigenvektoren.
Nein, wie das denn?
Wenn [mm]a\neq 0[/mm] ist, muss doch [mm]y=0[/mm] sein, das hast du doch oben richtog erkannt!
Also [mm]x\in\IR[/mm] beliebig, [mm]y=0[/mm]
Das gibt [mm]\vektor{x\\
0}[/mm] als Eigenvektor mit [mm]x\neq 0[/mm] (der Nullvektor ist ja per definitionem kein Eigenvektor)
Hier bekommst du für alle [mm]x\neq 0[/mm] also nur einen (linear unabh.) Eigenvektor, etwa für [mm]x=1[/mm] den EV [mm]\vektor{1\\
0}[/mm]
> Ich weiß nicht, welchen
> Wert a haben muss, um höchstens einen linear unabhängigen
> Eigenvektor zu bekommen.
[mm]a\neq 0[/mm] beliebig liefert einen EV !
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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