dgl system partikulärer ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 15.09.2010 | | Autor: | NFL_ |
| Aufgabe | lösen sie das folgende dgl - system !
[mm]
\dot x_1 + 5x_1 + 2x_2 = -5 + 2t[/mm]
[mm]
\dot x_2 -6x_1 -2x_2 = 7 -2t
[/mm]
mit der unbekannten funktion [mm] x1(t) und x2(t)[/mm] für die anfangsbedingung
[mm] x(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] |
also mein problem ist das ich nicht auf den ansatz der partikulären lösung komme. da die störfunktion ja ein "t" beinhaltet habe ich ebend den ansatz für eine lineare funktion probiert aber da komm ich auf keinen lösungsvektor und schon während des lösens des gleichuungssystems das ich aus dem koeffizienten vergleich gewonnen habe treten widersprüche zwischen denn gleichungen auf ...
nun die frage(n):
ist denn der ansatz für die störfunktion g(t) = -5 + 2t
Ax + B ?
oder muss das x in dem ansatz vieleicht ein t sein ? weil ja der parameter der störfunktion ein t ist ?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo NFL_,
> lösen sie das folgende dgl - system !
>
> [mm]
\dot x_1 + 5x_1 + 2x_2 = -5 + 2t[/mm]
>
> [mm]
\dot x_2 -6x_1 -2x_2 = 7 -2t
[/mm]
>
> mit der unbekannten funktion [mm]x1(t) und x2(t)[/mm] für die
> anfangsbedingung
> [mm]x(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> also mein
> problem ist das ich nicht auf den ansatz der partikulären
> lösung komme. da die störfunktion ja ein "t" beinhaltet
> habe ich ebend den ansatz für eine lineare funktion
> probiert aber da komm ich auf keinen lösungsvektor und
> schon während des lösens des gleichuungssystems das ich
> aus dem koeffizienten vergleich gewonnen habe treten
> widersprüche zwischen denn gleichungen auf ...
>
> nun die frage(n):
>
> ist denn der ansatz für die störfunktion g(t) = -5 + 2t
> Ax + B ?
>
> oder muss das x in dem ansatz vieleicht ein t sein ? weil
> ja der parameter der störfunktion ein t ist ?!
Hier benötigst Du als Ansatz eine vektorwertige lineare Funktion:
[mm]x_{p1}\left(t\right)=a_{1}+b_{1}*t[/mm]
[mm]x_{p2}\left(t\right)=a_{2}+b_{2}*t[/mm]
Oder etwas kompakter:
[mm]\pmat{x_{p1}\left(t\right) \\ x_{p2}\left(t\right)}=\pmat{a_{1} \\ a_{2}}+\pmat{b_{1} \\ b_{2}}*t=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*t[/mm]
EDIT: Dies führt jedoch zu keiner konkreten Lösung,
wähle daher den Ansatz:
[mm]\pmat{x_{p1}\left(t\right) \\ x_{p2}\left(t\right)}=\pmat{a_{1} \\ a_{2}}+\pmat{b_{1} \\ b_{2}}*t+\pmat{c_{1} \\ c_{2}}*t^{2}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*t+\overrightarrow{c}*t^{2}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 15.09.2010 | | Autor: | NFL_ |
danke für deine antwort ... kann ich denn jetzt wie gewohnt weitermachen ? also in das dgl - system einsetzen und Xp ausrechnen ?
und wie kommst du auf denn ansatz ? mich irritiert das Quadrat ...
danke im voraus ...
|
|
|
| |
|
Hallo NFL_,
> danke für deine antwort ... kann ich denn jetzt wie
> gewohnt weitermachen ? also in das dgl - system einsetzen
> und Xp ausrechnen ?
Ja, dann muss Du noch einen Koeffizientenvergleich durchführen,
um die Koeffizienten herauszubekommen.
>
> und wie kommst du auf denn ansatz ? mich irritiert das
> Quadrat ...
Nun, da der Ansatz einer linearen Funktion keine konkrete Lösung liefert.
>
> danke im voraus ...
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 15.09.2010 | | Autor: | NFL_ |
sorry aber mit dem ansatz komm ich auch nicht auf die lösung ... hab auch schon was ähnliches probiert und zwar was hier ![[]](/images/popup.gif) http://www.fh-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/lindgl1.pdf
unter bemerkung im punkt 2 steht.
aber das bringt mich nicht auf die lösung für den vektor der partikulären lösung, der da lautet
[mm]X_p = \begin{pmatrix} -1 \\ t \end{pmatrix} [/mm]
wie kommt das t da rein ? oh man ich rechne da schon zwei tage dran rum :-(
|
|
|
| |
|
Hallo NFLL_,
> sorry aber mit dem ansatz komm ich auch nicht auf die
> lösung ... hab auch schon was ähnliches probiert und zwar
> was hier
> http://www.fh-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/lindgl1.pdf
> unter bemerkung im punkt 2 steht.
Dann poste doch mal Deine Rechenschritte bis dorthin.
>
> aber das bringt mich nicht auf die lösung für den vektor
> der partikulären lösung, der da lautet
>
> [mm]X_p = \begin{pmatrix} -1 \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> wie kommt das t da rein ? oh man ich rechne da schon zwei
> tage dran rum :-(
Ein Alternativweg ist die Methode der Variation der Konstanten.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
