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es geht um eine differentialgleichung ohne x, sodass ich wahrscheinlich keine trennung der variablen durchführen kann
wie soll ich diese gleichung auflösen????:
[mm]y'=r(1-\bruch{y}{G})y [/mm] für r=0,5 und G=100
r und G sind entweder für die Werte eingesetzt worden, damit das rechnen leichter wird oder es handelt sich um eine spezielle dgl
diese soll ich dann noch grafisch darstellen, allerdings ohne anfangswert, sollte ich da etwa ein komplettes richtungsfeld zeichnen, wenn ja, kann mir jemand das mit den isoklinen mal erklären weil ich nicht weiß, wie ich diese in ein koordinatensystem eintragen soll
danke
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Hi, Rico,
> es geht um eine differentialgleichung ohne x, sodass ich
> wahrscheinlich keine trennung der variablen durchführen
> kann
> wie soll ich diese gleichung auflösen????:
> [mm]y'=r(1-\bruch{y}{G})y[/mm] für r=0,5 und G=100
> r und G sind entweder für die Werte eingesetzt worden,
> damit das rechnen leichter wird oder es handelt sich um
> eine spezielle dgl
Warum sollte die Trennung der Variablen nicht funktionieren?
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] r*(1-\bruch{y}{G})*y
[/mm]
bzw.: [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{r}{G}*(G [/mm] - y)*y
Nun zunächst die Sonderfälle abhandeln:
y=0 und y=G sind beides Lösungen.
Jetzt also: [mm] y\not=0 [/mm] und [mm] y\not=G.
[/mm]
Dann: [mm] \bruch{dy}{(y-G)*y} [/mm] = [mm] -\bruch{r}{G}*dx
[/mm]
Daraus: [mm] \integral{\bruch{dy}{(y-G)*y}} [/mm] = [mm] -\integral{\bruch{r}{G}dx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{dy}{(y-G)*y}} [/mm] = [mm] -\bruch{r}{G}*x [/mm] + c
Die linke Seite kannst Du nun auf 2 Arten Integrieren:
(1) Partialbruchzerlegung
oder
(2) Quadrat.Ergänzung und Substitution.
Schau' erst mal, ob Dir bis dahin alles einleuchtet!
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danke erstmal Erwin
aber ich komme dann auf eine komische lösung, nämlich:
[mm]y=\wurzel{-e^{-\bruch{r}{G}x+c}+\bruch{G^2}{4}}+\bruch{G}{2}[/mm]
kann das stimmen????
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Hi, Rico,
na: Das glaub' ich eher nicht!
Also: Ich hab' PBZ gemacht und erhielt:
[mm] \integral{\bruch{1}{G}*(\bruch{1}{y-G} - \bruch{1}{y})dy} [/mm] = [mm] \bruch{r}{G}x [/mm] + [mm] c_{1}
[/mm]
(Ich schreib' jetzt [mm] c_{1}, [/mm] damit ich das c für die Konstante am Schluss zur Verfügung hab').
Integrieren und beide Seiten mit G multiplizieren:
ln|y-G| - ln|y| = rx + [mm] c_{2} [/mm]
[mm] (c_{2} [/mm] = [mm] c_{1}*G)
[/mm]
[mm] ln|\bruch{y-G}{y}| [/mm] = rx + [mm] c_{2}
[/mm]
Nun müsste man Fallunterscheidungen machen bezüglich der Vorzeichen des Bruches [mm] \bruch{y-G}{y}.
[/mm]
Ich nehm' mal nur den Fall, dass [mm] \bruch{y-G}{y} [/mm] > 0 ist:
[mm] \bruch{y-G}{y} [/mm] = [mm] e^{rx + c_{2}} [/mm] oder: = [mm] c*e^{rx} [/mm] mit c > 0 (übrigens: im anderen Fall wär's halt: c<0).
Auflösen nach y:
y - G = [mm] c*y*e^{rx}
[/mm]
y*(1 - [mm] c*e^{rx}) [/mm] = G
y = [mm] \bruch{G}{1 - c*e^{rx}}
[/mm]
(Definitionsmenge abhängig von c!)
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