dgl aufstellen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
ich weis nicht wie ich bei dieser aufgabe eine dgl aufstellen kann:
Ein Kern (Kugelförmig) eines Geschirrspültabs wird in der Sülmaschine vollständig aufgelöst. Er hat zu Beginn dem Durchmesser 1cm.
Durch Beobachtung wurde festgestellt, das der Kern kugelförmig bleibt und die Volumenabhnahme in einem kleinen Zeitintervall proportional zur Länge des Zeitintervalls und zur aktuellen Oberfläche, mit dem Faktor -0,23 mm/min.
Wenn ich nun y als durchmesser des Kerns in abhängigkeit vont definiere so würde sich für y' ergeben
Mit der Pberfläche der Kugel [mm] 4*\pi*r^2
[/mm]
[mm] y'=\delta t*-0,23*(4*\pi*(\bruch{y}{2})^2)
[/mm]
das ergibt aber keinen sinn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Ich kann nicht ganz folgen, wie du auf deine Gleichung gekommen bist. Wieso [mm] \pi-(\bruch{y}{2})?
[/mm]
Jedenfalls besagt die Aufgabe doch eigentlich nur:
V'(t)=-0,23*O(t) - die Veränderung des Volumens ist proportional zur Oberfläche
wenn du jetzt y(t) als Durchmesser nimmst, musst du das im Prinzip nur noch einsetzen, d.h. für V'(t) und O(t) Formeln mit y(t) schreiben...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
die fragestellugn ist zu bestimmen wann sich diese Kern aufgelöst hat wenn sie am anfang den Durchmesser 1cm hat. Daher hab ich mir gedacht ich kann ich die Formel für die Oberfläche der Kugel
O= [mm] 4*\pi*r^2 [/mm]
(y/2) als r einsetzten um das in Verbindung zu setzten.
Aso:
ja in der ersten schreibweise waren fehler die berichtigt sidn was ich meinte war:
$ [mm] y'=\delta t\cdot{}-0,23\cdot{}(4\cdot{}\pi\cdot{}(\bruch{y}{2})^2) [/mm] $
kann ich denn als schreiben
r(t)=-0,23*t
[mm] O(t)=4*\pi*(r(t))^2
[/mm]
[mm] V'(t)=-0,23*t*(4*\pi*(r(t))^2)
[/mm]
und dann r(t) durch V(t) nach der Volumenformel
V= [mm] (4/3)*\pi*r^3 [/mm] ausdrücken? was dann ergibt
r(t) [mm] =(\bruch{3*V(t)}{4*\pi})^{1/3}
[/mm]
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
das problem ist halt dass ich diese dgl dann irgendwie auhc nicht gelöst bekomme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
kann mir denn da niemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Erstmal bringts hier nich so viel, immer wieder nachzufragen. Entweder du kriegst ne Antwort oder eben nicht ;)
> hallo,
> die fragestellugn ist zu bestimmen wann sich diese Kern
> aufgelöst hat wenn sie am anfang den Durchmesser 1cm hat.
Aha.
> Daher hab ich mir gedacht ich kann ich die Formel für die
> Oberfläche der Kugel
> O= [mm]4*\pi*r^2[/mm]
> (y/2) als r einsetzten um das in Verbindung zu setzten.
> Aso:
> ja in der ersten schreibweise waren fehler die berichtigt
> sidn was ich meinte war:
>
> [mm]y'=\delta t\cdot{}-0,23\cdot{}(4\cdot{}\pi\cdot{}(\bruch{y}{2})^2)[/mm]
Da versteh ich immer noch nicht, warum in deiner Gleichung links das y' steht. Immerhin ist doch die Veränderung des Volumens gegeben, nicht des Durchmessers. (Übrigens muss das [mm] \Delta [/mm] t nicht mit in die Formel, das ist quasi in der Ableitung mit drin)
> kann ich denn als schreiben
> r(t)=-0,23*t
Eigentlich (!) nicht, zumindest nicht ohne Begründung. In der Aufgabe steht ja, dass die Volumenänderung proportional ist, und nicht direkt der Radius...
> [mm]O(t)=4*\pi*(r(t))^2[/mm]
> [mm]V'(t)=-0,23*t*(4*\pi*(r(t))^2)[/mm]
> und dann r(t) durch V(t) nach der Volumenformel
> V= [mm](4/3)*\pi*r^3[/mm] ausdrücken? was dann ergibt
> r(t) [mm]=(\bruch{3*V(t)}{4*\pi})^{1/3}[/mm]
> ?
Ich bleibe bei meiner ersten Angabe. Der Text sagt,
V'(t)=-0,23*O(t)
Formeln einsetzen ergibt:
[mm] \left(\bruch{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3\right)'=-0,23*\left(4\pi\left(r(t)\right)^2\right)
[/mm]
Dann musst du die linke Seite nur noch ableiten (Kettenregel!) und nach r'(t) umstellen...
So kommst du auf r'(t)=-0,23.
(Eventuell kann man das auch einfacher begründen kann, aber so ist es auf jede Fall formal ordentlich.)
Und da ja r(t)=0,5 ist, kannst du dann auch t ausrechnen...
Soweit erstmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
wie kommt man denn nun von deinem letzten schritt weiter, also wie kann an dann t ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Die DGL
r'(t)=-0,23
lösen gibt
r(t)=-0,23*t+c
Du weißt, dass r(0)=0,5, also c=0,5. Nun musst du nur noch
0=r(t)=-0,23*t+0,5 (denn du willst ja wissen, wann der Radius 0 ist)
nach t umstellen. Das schaffst du aber ;)
Jetzt klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
muss ich denn nun gar nicht die volumenfunktion, oberflächenfunktions u.sw. aufstellen wie anfangs beschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
?Wieso? Na klar. Tust du doch. Du stellst Gleichungen für V und O auf, in Abhängigkeit von r (oder y, wenn du lieber mit dem Durchmesser hantierst). Und die setzt du dann in die Gleichung ein...
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hallo,
aber ist 2,77 als ergebnis nicht etwas "kurz"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 01.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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