dgl 2. ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo
eine frage, ich habe die gleichungen:
x''=-x-4(x-y)
y''=-y-4(y-x)
und soll die in ein system erster ordnung für x(t), y(t), x'(t) und y'(t) umformen
und ich weiß leider nicht wie das geht?
kann mir jemand einen ansatz geben bitte?
dazu ein fundamentalsystem angeben kann ich eigentlich..aber bislang nur mit systemen 1. ordnung
und mich verwirrt das hier kein x' bzw y' dabei ist, sonst wüsst ich glaub ich auch wie das geht, mit umschreiben y1=y
y2=y' usw... oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 24.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
substituiere
[mm] z_1=x \Rightarrow z_1'=z_2
[/mm]
[mm] z_2=x' \Rightarrow z_2'=x''=-x-4(x-y)=-z_1-4(z_1-z_3)
[/mm]
[mm] z_3=y \Rightarrow z_3'=z_4
[/mm]
[mm] z_4=y' \Rightarrow z_4'=y''=-y-4(y-x)=-z_3-4(z_3-z_1)
[/mm]
Jetzt noch zusammenfassen und in die Form bringen
[mm] \bruch{d}{dt}\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 }= A*\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 }
[/mm]
mit A = 4x4 Matrix
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
> Hi,
>
> substituiere
>
> [mm]z_1=x \Rightarrow z_1'=z_2[/mm]
>
> [mm]z_2=x' \Rightarrow z_2'=x''=-x-4(x-y)=-z_1-4(z_1-z_3)[/mm]
>
> [mm]z_3=y \Rightarrow z_3'=z_4[/mm]
>
> [mm]z_4=y' \Rightarrow z_4'=y''=-y-4(y-x)=-z_3-4(z_3-z_1)[/mm]
>
> Jetzt noch zusammenfassen und in die Form bringen
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 }= A*\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 }[/mm]
>
> mit A = 4x4 Matrix
>
ah ok ich verstehe, schonmal vielen dank dafür :)
zwei zeilen der matrix sind dann ja eign kein problem, also [mm] z_{2}' [/mm] und [mm] z_{4}'
[/mm]
aber muss ich jetzt um die angaben für [mm] z_{1}' [/mm] und [mm] z_{3}' [/mm] erst die beiden gleichungen auflösen sodass ich z2 und z4 habe? oder sind die zeilen einfach 0? ne oder das macht doch keinen sinn^^
danke nochmal
cmueller
> mfg ullim
>
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Hallo cmueller,
> > Hi,
> >
> > substituiere
> >
> > [mm]z_1=x \Rightarrow z_1'=z_2[/mm]
> >
> > [mm]z_2=x' \Rightarrow z_2'=x''=-x-4(x-y)=-z_1-4(z_1-z_3)[/mm]
>
> >
> > [mm]z_3=y \Rightarrow z_3'=z_4[/mm]
> >
> > [mm]z_4=y' \Rightarrow z_4'=y''=-y-4(y-x)=-z_3-4(z_3-z_1)[/mm]
>
> >
> > Jetzt noch zusammenfassen und in die Form bringen
> >
> > [mm]\bruch{d}{dt}\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 }= A*\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 }[/mm]
>
> >
> > mit A = 4x4 Matrix
> >
> ah ok ich verstehe, schonmal vielen dank dafür :)
> zwei zeilen der matrix sind dann ja eign kein problem,
> also [mm]z_{2}'[/mm] und [mm]z_{4}'[/mm]
> aber muss ich jetzt um die angaben für [mm]z_{1}'[/mm] und
> [mm]z_{3}'[/mm] erst die beiden gleichungen auflösen sodass ich z2
> und z4 habe? oder sind die zeilen einfach 0? ne oder das
> macht doch keinen sinn^^
Stelle jetzt die Matrix A auf.
Berechne dann die Eigenwerte mit
den zugehörigen Eigenvektoren.
>
> danke nochmal
> cmueller
> > mfg ullim
> >
> >
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
ja aber genau das is mein problem ich bin nich sicher wie die matrix aussieht, also
A= [mm] \pmat{ ? & ? &? &? \\ -5&0&-1&0 \\ ? & ? & ? & ? ?\\ -1 & 0 & -5 & 0 }
[/mm]
aber woher weiß ich was dazwishfen steht oder stehen da nur nullen?
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Hallo cmueller,
> ja aber genau das is mein problem ich bin nich sicher wie
> die matrix aussieht, also
>
> A= [mm]\pmat{ ? & ? &? &? \\ -5&0&-1&0 \\ ? & ? & ? & ? ?\\ -1 & 0 & -5 & 0 }[/mm]
>
> aber woher weiß ich was dazwishfen steht oder stehen da
> nur nullen?
ullim hat Dir doch schon die Gleichungen
fast so hingeschrieben, wie Du sie benötigst:
[mm]z_{1}'=z_{2}[/mm]
[mm]z_{2}'=-z_{1}-4(z_{1}-z_{3})[/mm]
[mm]z_{3}'=z_{4}[/mm]
[mm]z_{4}'=-z_{3}-4(z_{3}-z_{1})[/mm]
Das System 1. Ordnung lautet dann:
[mm]\pmat{z_{1}' \\ z_{2}' \\ z_{3}' \\ z_{4}'}=A*\pmat{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
da hast du allerdings recht^^
gut ich habe also A= [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0&-1&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -5 & 0 }[/mm]
und rechne die eigenwerte aus,
habe dann raus
[mm] \lambda_{1 }=i\wurzel{4}=2i
[/mm]
[mm] \lambda_{2 }=-i\wurzel{4}=-2i
[/mm]
[mm] \lambda_{ 3}=i\wurzel{6}
[/mm]
[mm] \lambda_{4 }=-i\wurzel{6}
[/mm]
stimmt das?
wenn ich die eigenvektoren dazu berechnet habe ist das dann bereits das fertige fundamentalsystem dass ich ausrechnen will?
kann ja eign nicht, weils das fundamentalsystem von z(t) ist ne?
substituiere ich dann zurück?und habe dann nochmal ein system zu lösen?
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Hallo cmueller,
> da hast du allerdings recht^^
>
> gut ich habe also A= [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0&-1&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -5 & 0 }[/mm]
Die Matrix A lautet doch:
[mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0& \red{4}&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \red{4} & 0 & -5 & 0 }[/mm]
>
> und rechne die eigenwerte aus,
> habe dann raus
> [mm]\lambda_{1 }=i\wurzel{4}=2i[/mm]
> [mm]\lambda_{2 }=-i\wurzel{4}=-2i[/mm]
>
> [mm]\lambda_{ 3}=i\wurzel{6}[/mm]
> [mm]\lambda_{4 }=-i\wurzel{6}[/mm]
>
> stimmt das?
Leider nein.
> wenn ich die eigenvektoren dazu berechnet habe ist das
> dann bereits das fertige fundamentalsystem dass ich
> ausrechnen will?
> kann ja eign nicht, weils das fundamentalsystem von z(t)
> ist ne?
> substituiere ich dann zurück?und habe dann nochmal ein
> system zu lösen?
Nun, wenn Du eine komplexe Lösung erhalten hast,
dann sind auch der Real- und Imaginärteil dieser
Lösung wieder Lösungen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
> Hallo cmueller,
>
> > da hast du allerdings recht^^
> >
> > gut ich habe also A= [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0&-1&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -5 & 0 }[/mm]
>
>
> Die Matrix A lautet doch:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0& \red{4}&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \red{4} & 0 & -5 & 0 }[/mm]
>
ach son dreck, ich sitz hier schon seit stunden und dann passieren diese doofen flüchtigkeitsfehler^^
>
> >
> > und rechne die eigenwerte aus,
> > habe dann raus
> > [mm]\lambda_{1 }=i\wurzel{4}=2i[/mm]
> > [mm]\lambda_{2 }=-i\wurzel{4}=-2i[/mm]
>
> >
> > [mm]\lambda_{ 3}=i\wurzel{6}[/mm]
> > [mm]\lambda_{4 }=-i\wurzel{6}[/mm]
> >
>
> > stimmt das?
>
>
> Leider nein.
na das ist dann logisch^^
>
>
> > wenn ich die eigenvektoren dazu berechnet habe ist das
> > dann bereits das fertige fundamentalsystem dass ich
> > ausrechnen will?
> > kann ja eign nicht, weils das fundamentalsystem von z(t)
> > ist ne?
> > substituiere ich dann zurück?und habe dann nochmal ein
> > system zu lösen?
>
>
> Nun, wenn Du eine komplexe Lösung erhalten hast,
> dann sind auch der Real- und Imaginärteil dieser
> Lösung wieder Lösungen.
ja läuft ich bekomme 4 eigenvektoren raus und 2 sind jeweils konjugierte eigenvektoren (sofern komplex) und dann hab ich aufgespalten trotzdem 4.
ich weiß nur nicht ob ich dann schon ein fertiges fundamentalsystem habe, also klar hab ich eins, aber für z und nicht für x und y
und wie bekomme ich das jetzt noch?
wenn ich rücksubstituiere hab ich doch x x' y und y' im fundamentalsystem stehen...
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo cmueller,
> > Hallo cmueller,
> >
> > > da hast du allerdings recht
> > >
> > > gut ich habe also A= [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0&-1&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -5 & 0 }[/mm]
>
> >
> >
> > Die Matrix A lautet doch:
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0 \\ -5&0& \red{4}&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \red{4} & 0 & -5 & 0 }[/mm]
>
> >
> ach son dreck, ich sitz hier schon seit stunden und dann
> passieren diese doofen flüchtigkeitsfehler^^
>
> >
> > >
> > > und rechne die eigenwerte aus,
> > > habe dann raus
> > > [mm]\lambda_{1 }=i\wurzel{4}=2i[/mm]
> > > [mm]\lambda_{2 }=-i\wurzel{4}=-2i[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\lambda_{ 3}=i\wurzel{6}[/mm]
> > > [mm]\lambda_{4 }=-i\wurzel{6}[/mm]
>
> > >
> >
> > > stimmt das?
> >
> >
> > Leider nein.
> na das ist dann logisch^^
> >
> >
> > > wenn ich die eigenvektoren dazu berechnet habe ist das
> > > dann bereits das fertige fundamentalsystem dass ich
> > > ausrechnen will?
> > > kann ja eign nicht, weils das fundamentalsystem von z(t)
> > > ist ne?
> > > substituiere ich dann zurück?und habe dann nochmal
> ein
> > > system zu lösen?
> >
> >
> > Nun, wenn Du eine komplexe Lösung erhalten hast,
> > dann sind auch der Real- und Imaginärteil dieser
> > Lösung wieder Lösungen.
>
> ja läuft ich bekomme 4 eigenvektoren raus und 2 sind
> jeweils konjugierte eigenvektoren (sofern komplex) und dann
> hab ich aufgespalten trotzdem 4.
Nun, dann hast Du hier die Lösungen
[mm]v_{\lambda_{1}}*e^{\lambda_{1}*t}, \ v_{ \lambda_{2}}*e^{\lambda_{2}*t}, \ v_{\lambda_{3}}*e^{\lambda_{3}*t}, \ v_{ \lambda_{4}}*e^{\lambda_{4}*t} [/mm]
,wobei [mm]v_{\lambda_{i}}[/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm] ist.
Da es sich hier um konjugiert komplexe Eigenwerte handelt,
d.h.
[mm]\lambda_{2}=\overline{ \lambda_{1} }[/mm]
[mm]\lambda_{4}=\overline{ \lambda_{3} }[/mm]
reicht es hier nur zwei komplexe Lösungen zu betrachten.
Dann ist
[mm]\operatorname{Re}\left( \ v_{\lambda_{1}}*e^{\lambda_{1}*t} \ \right), \ \operatorname{Im}\left( \ v_{\lambda_{1}}*e^{\lambda_{1}*t}\ \right), \operatorname{Re}\left( \ v_{\lambda_{3}}*e^{\lambda_{3}*t} \ \right), \ \operatorname{Im}\left( \ v_{\lambda_{3}}*e^{\lambda_{3}*t}\ \right)[/mm]
ein Fundamentalsystem.
>
> ich weiß nur nicht ob ich dann schon ein fertiges
> fundamentalsystem habe, also klar hab ich eins, aber für z
> und nicht für x und y
> und wie bekomme ich das jetzt noch?
> wenn ich rücksubstituiere hab ich doch x x' y und y' im
> fundamentalsystem stehen...
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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